Matematik
Vis at Q og M er isomorfe?
07. januar 2008 af
Michaelosm (Slettet)
Lad M betegne mængden af alle 2x2 matricer på formen
(a 3b)
(b a)
hvor a,b tilhører Q.
Jeg har vist at M er en delring i ringen M(Q) af alle rationale matricer.
Det jeg så ikke ved, hvad jeg skal gøre med, er det spørgsmål her:
Udregn
(0 3)^2
(1 0)
Vis at M og Q(Kvr(3))={a+bKvr(3)|a,b tilhører Q} er isomorfe.
Jeg kan selvfølgelig sagtens udregne hvad matricen i anden er, men hvordan jeg viser den er isomorf med Q(Kvr(3)) har jeg overhovedet ikke styr på. Håber der er nogen der kan hjælpe. Ps. svaret skal have noget at gøre med Ringe og Talteori :)
\\Michael
(a 3b)
(b a)
hvor a,b tilhører Q.
Jeg har vist at M er en delring i ringen M(Q) af alle rationale matricer.
Det jeg så ikke ved, hvad jeg skal gøre med, er det spørgsmål her:
Udregn
(0 3)^2
(1 0)
Vis at M og Q(Kvr(3))={a+bKvr(3)|a,b tilhører Q} er isomorfe.
Jeg kan selvfølgelig sagtens udregne hvad matricen i anden er, men hvordan jeg viser den er isomorf med Q(Kvr(3)) har jeg overhovedet ikke styr på. Håber der er nogen der kan hjælpe. Ps. svaret skal have noget at gøre med Ringe og Talteori :)
\\Michael
Svar #1
07. januar 2008 af peter lind
Jeg har ikke gennemført beregningerne; men her er i hvert fald et forslag
Lad korrespondancen mellem de 2 mængder være givet ved a'et i maticerne svare til a'et i Q. Tilsvarende for b.
Jeg vil betegne matricen med de givne a og b til M(a,b) Tilsvarende vil jeg kalde det tilsvarende element i Q for Q(a,b)
Du skal så vise at hvis M(a,b)+M(c,d) = M(e,f) så er Q(a,b)+Q(c,d) =
Q(e,f) og omvendt. Dette er nemt gjort. Det er faktisk hovedregning. Man vil få e=a+c og f=b+d
Tilsvarende skal du vise at hvis hvis M(a,b)*M(c,d) = M(e,f) så er
Q(a,b)*Q(c,d) = Q(e,f). Det må du selv klare.
Lad korrespondancen mellem de 2 mængder være givet ved a'et i maticerne svare til a'et i Q. Tilsvarende for b.
Jeg vil betegne matricen med de givne a og b til M(a,b) Tilsvarende vil jeg kalde det tilsvarende element i Q for Q(a,b)
Du skal så vise at hvis M(a,b)+M(c,d) = M(e,f) så er Q(a,b)+Q(c,d) =
Q(e,f) og omvendt. Dette er nemt gjort. Det er faktisk hovedregning. Man vil få e=a+c og f=b+d
Tilsvarende skal du vise at hvis hvis M(a,b)*M(c,d) = M(e,f) så er
Q(a,b)*Q(c,d) = Q(e,f). Det må du selv klare.
Svar #2
07. januar 2008 af Michaelosm (Slettet)
Ahh, tak for hjælpen. Jeg har fået det til at passe nu. Det gav mig lidt problemer at M var en matrix og Q var skrevet på en anden form.
Men skal det ikke også vises at den funktion der giver Q fra M (eller M fra Q) er bijektiv, for at jeg kan sige det er en isomorfi? Det er selvfølgelig intuitivt forståeligt, men jeg har lidt problemer med at sætte ord på det.
Men skal det ikke også vises at den funktion der giver Q fra M (eller M fra Q) er bijektiv, for at jeg kan sige det er en isomorfi? Det er selvfølgelig intuitivt forståeligt, men jeg har lidt problemer med at sætte ord på det.
Svar #3
07. januar 2008 af peter lind
#2 Det har du helt ret i; men det er ret indlysende at når man lader a i M svare til a i Q og man lader b i M svare til b i Q er forbindelsen bijektiv.
Skriv et svar til: Vis at Q og M er isomorfe?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.