Matematik

Integrale (substitutions metoden)

08. juni 2008 af Rec (Slettet)

Integraletegn = §

§e^kvadratroden(x)dx

t = e^x^1/2
dt/dx = x/(2*e^x^1/2)
dx = (2t/x)dt

§t*(2t/x)dt = §(2t^2/x)dt
2§(t^2*(1/x)dt -> 2§((1/x)*t^2)dt

Gennem Partiell Integration:

2(ln|x|*t^2 - §(ln|x|*2t)dt

Gennem en ny Partiell Integration:

2(ln|x|*t^2 -((xln|x|-x)*2t - §((xln|x|-x)*2)dt)
<->
2(ln|x|*t^2 -((xln|x|-x)*2t - 2§(xln|x|-x)dt)
<->
2(ln|x|*t^2 -((xln|x|-x)*2t - 2ln|x|) + c
<->
2(ln|x|*t^2 - 2((xln|x|-x)*t - ln|x|) + c
<->
2ln|x|*t^2 - 4((xln|x|-x)*t - ln|x|) + c
<->
2ln|x|*(e^x^1/2)2 - 4(xln|x|-x)*e^x^1/2 - ln|x| + c
<->
2ln|x|*e^x - 4xln|x|*e^x^1/2 - 4xe^x^1/2 - ln|x| + c
<->
ln|x|(2*e^x - 4xe^x^1/2 - 1) 4xe^x^1/2 + c

Som I kan se, har jeg ikke fået noget særligt godt resultat...

Facit skal være: 2(x^1/2 - 1)e^x^1/2 + c

En der kan hjælpe med at se hvor jeg gik galt?

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. juni 2008 af peter lind

Du skal bruge substitutionen t=kvrod(x) <-> x=t^2. Du vil få at du nu skal integrere en funktion af formen x*exp(x). Integreringen af denne gøres med partiel integration. Differentier x integrer exp(x)

Svar #2
08. juni 2008 af Rec (Slettet)

Mange tak for hjælpen!

Svar #3
08. juni 2008 af Rec (Slettet)

Lige et andet spørgsmål. Er der en huskeregel til hvordan jeg finder ud af om det er X eller exp(x) jeg skal differentiere resp. integrere?

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. juni 2008 af mathon

#1
i detaljer
http://peecee.dk/upload/view/118004

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. juni 2008 af mathon

#3
med integranden
x^n*e^(x)

er det hver gang e^(x), der integreres
og
x^n der differentieres,
da
rækken
x^(n-1), x^(n-2),...............x^2, x, 1
således opnås
ved gentagen partiel integration

Svar #6
08. juni 2008 af Rec (Slettet)

#5

I tilfælde af at integranden ser således ud:

t^(n)*x^(n)

eller

x^(-n)*e^(x) i denne får man jo bare ..... -x^(-2), 2x^(-3...

Hvilken vælger man at integrere, og hvorfor?

Der er måske ingen måde anden end at prøve sig frem?

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. juni 2008 af mathon

t^(n)*x^(n) = (tn)^n

x^(-n)*e^(x)

integrer x^(-n),
der giver leddene
x^(1-n), x^(2-n), x^(3-n),...........,x^(-1), 1

og differentier hver gang e^x

Brugbart svar (1)

Svar #8
08. juni 2008 af peter lind

der findes ikke nogle generelle regler for hvordan man gør, og det er det der gør integrering svært. En stamfunktion til x^(-n)*exp(x) kan ikke udtrykkes ved de kendte funktioner. Hvis der står noget med exp(f(x)), sin(f(x)), cos(f(x)) skal du med meget stor sandsynlighed bruge substitutionen t=f(x). En funktion af formen f(x)*exp(x) skal med stor sandsynlighed beregnes med partiel integration; men som det fremgår af ovenstående virker det ikke altid. Hold også øje med trigonometriske funktioner. Hvis integranden indeholder kvrod(1-x^2) skal du således med stor sandsynlighed bruge substitutionen x=sin(t).

Skriv et svar til: Integrale (substitutions metoden)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.