Matematik
Løsning af kompleks eksponentialfunktion
Min opgave er som følger:
"Find samtlige løsninger til den komplekse ligning exp(z)=i"
Jeg har løst opgaven ved hjælp af Maple's solve og fundet en løsning til at være 1/2*i*Pi.
Jeg er nødt til at gennemskue hvordan jeg løser opgaven i hånden, men jeg kan umiddelbart ikke finde den formel der får mig videre herfra, er der nogen der kan hjælpe?
Svar #1
01. oktober 2008 af Danielras (Slettet)
z = x + iy
exp(z) = exp(x+iy) = exp(x) (cos(y)+i*sin(y)) = (exp(x)cos(y)+exp(x)*i*sin(y))
Vi skal så løse:
(exp(x)cos(y)+exp(x)*i*sin(y)) = i
Realdelen skal jo være 0, og da exp(x) aldrig bliver 0 har vi:
cos(y) = 0
Hvilket medfører at:
y = (1/2)*Pi
Vi har ligeledes:
exp(x)*sin(y) = 1
Der med den fundne y indsat giver:
exp(x) = 1
Hvorfor:
x = 0
Det søgte komplekse tal er altså:
z = x + iy = i * (1/2)*Pi
Det er muligt at det kan gøres nemmere end dette, er noget tid siden jeg har arbejdet med komplekse tal.
Svar #3
01. oktober 2008 af Danielras (Slettet)
Du skal dog lige være opmærksom på at y jo rent faktisk bliver:
y = (1/2) * Pi + 2 * Pi * n
da cos(y) jo vil blive 0 igen perioden efter osv. Er måske derfor der står samtlige løsninger.
Skriv et svar til: Løsning af kompleks eksponentialfunktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.