Maksimumværdi for funktion med to variable

Du udregner gradienten ?g=(g_x,g_y) hvor g_x=dg/dx og g_y=dg/dy dvs. de partielt afledte af g. Dér hvor gradienten er nul, har funktionen enten sadelpunkt eller ekstremum. Derpå udregner du funktionsværdien for alle punkter, hvor gradientvektoren er nul, og den største af disse giver dig funktions maksimum.

I denne opgave kigger vi kun på det indre af D, så hvis funktionen har ekstremum sker det indeni D, men hvis randen havde været med, skulle man også tjekke funktionsværdierne rundt langs kanten af D, hvilket havde givet lidt ekstra besvær. I dette tilfælde kan du nøjes med at finde gradienter, der er nulvektorer i det indre af D. 

#1 Mange tak igen!

Hvad skal jeg gøre, hvis jeg også skulle undersøge randen af D?

Jeg fandt x = 0, x=2 og y =0. Da x=0 ligger på randen, kan jeg forkaste den med det samme, resultatet er derfor (2,0) hvilket giver g(2,0) = 4. Hvis jeg også havde randen med ville det give g(0,0) = 0.

#2 Man kan dele randen op i fire linjestykker, nemlig [0,4]×{-2}, [0,4]×{4}, {0}×[-2,4] og {4}×[-2,4]. Langs hvert af disse fire linjestykker kan du definere funktionerne f_-2(x)=g(x,-2), f₄(x)=g(x,4) samt h₀(y)=g(0,y) og h₄(y)=g(4,y).

Disse fire funktioner er nu funktioner af én variabel, der er defineret på lukkede intervaller. Funktionerne f_-2 og f₄ er defineret for x i [0,4] og h₀ og h₄ er defineret for y i [-2,4]. Disse undersøges nu for ekstrema vha. den afledte (den har man allerede udregnet, da man udregnede gradienten for g). Til slut tjekker man funktionsværdierne i de fire hjørner af området D. Pyha - sikke en smøre... Det er besværligt!

#3 Ah... prøver lige af regne det ud så.

I mellemtiden er jeg stødt ind i flg. opg.:

1)

http://peecee.dk/uploads/102008/Screenshot-41.png

Jeg fik gættet mig til det rigtige svar baseret på intuition, men det holder jo ikke. Det er ikke så svært at undersøge om mængden er lukket/afsluttet der skal jeg bare kigge efter < og > og udelukke dem, dvs. det ikke er 2 og 6. Hvordan argumenterer jeg for at den er begrænset?

2)

http://peecee.dk/uploads/102008/Screenshot-31.png

Så jeg skal kigge på c = f(x,y)

For 3 er det: |y| = c - |x|, hvilket jeg ikke rigtig forstår. På niveaukurven er der negative y-værdier og hvis man kigger på ligningen skal jeg jo tage den numeriske værdi?

#3 Hmm... har siddet lidt med det nu. Når jeg finder gradienten for f(x,y) og sætter den lig med nul, så bør jeg jo finde  alle ekstremumspunkter + saddelpunkter for funktionen i hele R^2, selvom funktionen kun er defineret i intervallerne. Hvilke forskel gør det, når jeg bruger din metode? Jeg får nemlig det samme resultat: x =0, x=1 og y =0. Er det eneste "nye" at jeg skal prøve at sætte (0,-2), (0,4), (4,-2) og (4,4) ind i f(x,y) og udregne funktionsværdien? Det burde jo allerede være dækket, når jeg finder gradient og sætter den til 0.

Eller hvad har jeg misforstået?