Hilberts rum og translationsinvariante mål

Det er langt tid siden, der har været ægte matematik herinde. Har du hørt om matematisk tilfredsstillelse?

"Målet u på (R,β(R)) er translationsinvariant, hvis der for alle a liggende i et flerdimensionalt legeme R gælder, at u o ta-1 = u, hvor den sammensatte funktion er en måltransformation. Jeg ved også at Lebesgue-målet er translationsinvariant for alle elemener i de naturlige tal. Hvordan kan jeg bruge det som redskab til at komme frem til, at der findes delmængder i R og andre legemer, som ikke er en borel-mængde ?"

(Borel-algebraen i S er 0-algebraen B(S) i S er frembragt af systemet af åbne delmænger q : B(S)=o(q).)

Vi kan lade u og v være to o-endelige mål på (R^d,B(R)^d), og antag, at de er translationsvariante. For to arbitrære funktioner f,g fra det positive, målelige rum af borel-mængden af R^d vil der gælde, at produkterne af integralerne over f(x)u(dx) og g(y)v(dy) giver produktet af integralerne over g(-x)u(dx) og f/y)v/dy), hvor vi integrerer over R^d.

Hvordan bevises det? Det er ikke vanskeligt! Vi bemærker, at vores funktionsudtryk er B(R^2d)-målelig, og u tensor v giver målet til sin enkelte variabel (fra Tonellis Sætning). Det er faktisk en tilnærmelse af pleonasme.

For et o-endeligt mål u på (R^d,B(R)^d), hvor u er translationsinvatiant, eksisterer en konstant c i [0,oo) : u = c * l_d.

Der findes ikke noget translationsinvariant mål u på (R,P(R)), som opfylder
0 < u([0,1]) < oo
Det er altså ikke muligt at definere et naturligt længdebegreb på hele potensmængden P(R).

Man kan vise det på mange måder. Blandt andet kan man se på relationerne blandt de rationale tal i [0,1], hvor vi ser, at dette er en ækvivalensrelation (refleksitivitet, symmetri og transitivitet). Vi betragter en ækvivalensklasses mængde og fra udvalgsaksiomet vælger vi en repræsentant for hver ækvivalensklasse. Ifølge udvalgsaksiomet eksisterer der en afbildning u: P(R) \ {Ø} -> R, som netop opfylder, at u(M) tilhører M for alle mængder M.

Herefter skal definere en ny mængde, og vi ser på foreningerne af de rationale tal i denne mængde, mens vi antager, at der findes et mål u på (R,B(R)), som er translationsinvariant, og lad
a := u([0,1]) tilhører (0,oo)
Bevisets detaljer er ikke væsentlige, men pointen er, at vi ender med at få a = 0, som giver os en modstrid.

Så har vi eksempelvis Lebesgue-målet (som du selv nævner), som er et translationsinvariant mål på (R,P(R)), som opfylder at l(0,1) = 1, som ligger i (0,oo). Borelmængden af R er en delmængde af potensmængden af R. Da mængderne aldrig kan være ens, må der a priori findes andre mængder.
 

Jeg er ikke helt sikker på, hvad du mener, når du taler om andre legemer. Vil du lige uddybe det?

Vi kan godt vise, at Lebesgue-målet er entydigt.

"Jeg har et teorem, som siger at i) og ii) er ækvavilente: A er et system af delmængder.

i) A er en o-algebra

ii) A er et ∩-stabilt ξ - system."
 

Det er korrekt. Hvis vi tager ξ(A) får vi også o-algebraen for A. (Dynkins Sætning), og det er faktisk brugbart i denne sammenhæng!

Lad (X;E) være et måleligt rum, og lad u og v være mål herpå. Vi antager, at der eksisterer et system ξ af delmængder af X:
i) ξ er  ∩-stabilt
ii) o(ξ) = D
iii) Der eksisterer en voksende følge {A_n} af mængder fra ξ: Foreningen giver X, og u(An) = v(An) < oo for alle n.
iv) u(A) = v(A) for alle A fra ξ
Da gælder der, at de to mål er ens. Den sætning går jeg ud fra, at du kender.

Vi kan nemlig bruge det til at vise entydigheden af Lebesgue-målet. Vi har, at der højst findes et mål l på (R,B(R)), som opfylder, at
l((a,b)) = b – a for alle a,b i R: a < b. Antag l’ er et tilsvarende mål på vores rum. Ud fra udregninger får vi, at l = l’, og dermed er entydigheden vist.
 

Et Hilbert Rum er jo bare et vektorrum med et indre produkt <*,*> således at rummet er konsistent mht. metrikken p(u,v) := (<u-v,u-v>)^0,5, som ligner den euklidske metrik.

Fischers Konsistens-teorem, som du kalder det, siger ikke kun at det gælder for Hilberts rum. For ethvert målrum og ethvert p i (0,oo) er rummet L^p(u) et konsistent pseudometrisk rum. (Enhver cauchy-følge i rummet er konvergent i det givne rum). Det ved vi allerede, da alle vores konvergenstyper er fuldstændige (monoton -, domineret konvergens osv.).

Vi kan også betragte følgende uendelige summer

Σ || f || p < oo => Σ fn er konvergent i vektorrrumet L^p(u).

Inklusionen gælder ikke nødvendigvis den anden vej. Jeg er også i tvivl om L^p(u) overhovedet behøves at være et vektorrum. Pointen er, at absolut konvergens medfører konvergens i rummet L^p(u).

Jeg kan ikke huske beviset, men man ser på supremum af normen, hvor Minkowskis Ulighed tages i brug.

Din sidste bemærkning skal også uddybes. Jeg tror, at du har misforstået den del, ellers har jeg gjort det:)
 

Det må jeg sige. Det gav mig svaret på det meste! Mange tak! :-)

Jeg fejlfortolkede mit eget spørgsmål og infimum-metrikken på den mængde jeg skrev op. Jeg byttede rundt på dem :P

Jeg forstår godt, hvordan du viser eksistensen af ikkeborel-mængden, men intuitivt er det rangen af mængder i R^2, som udgør forskellen. Hvis man eksempelvis forstiller sig en fraktal, kan man så ved fraktal-geometri bestemme rangens kardinalitet, eller giver det spørgsmål overhovedet mening ? Eller er det rangen, som udgør forskellen i et matematisk kompleks..

Jeg formoder, at du også er god til kommutativ algebra, hvor jeg har et problem. Det kan godt være at opgaven er simpel og jeg overser noget, men det ville være rart, hvis du bare løste den.

1. Jeg skal vise at den kommutative ring L = F2[X] / (X^3 + X + 1) er et legeme med 8 elementer, og vise at deres produkt er -1.

2. Her er jeg i tvivl. Jeg har et ideal i ringen Q. Så ser jeg på dens leksikografiske orden og ser at deres S-polynomier giver idealer, som ligger i det oprindelige ideal. Så skal jeg vise at den reducerede Gröbnerbasis jeg ved division af min kommutative ring får 0 og fra Buchbergers S-kriterium får at min polynomiumsring er en Gr¨bnerbasis. Den er også minimal, da ingen af initialtermerne går i andre initialtermer, og endelig er alle ledende koefficienter 1, og initialtermerne går ikke op i andre termer i de andre polynomier, så min Gröbnerbasis er entydigt minimal. Men er det et argument, som er formelt nok ?

Godmorgen.

1. Vi bemærker, at f har grad 3 og ingen rødder, da f(0) = f(1) = 1 og dermed er f irreducibelt. Det er (pr. proposition) ækvivalent med, at idealet <f> er et maksimalt ideal, hvor kvotientringen F[X] / X er et legeme med 2^3 = 8 elementer.

L* := L \ {0}

De 7 enheder i L er (a=[X]) L' = {1,1+a,1+a^2,1+a+a^2,a^2} og [f] = 2 = 0 ligger i L.

Π_xeL* x = 1(1+a)(1+a^2)...(a^2) = ... = a^3 +2a^2 + a = -1.

2. Jeg aner jo ikke, hvad du skal vise, men dine tanker ser rigtige ud :)

Det sjoveste resultat, jeg så i abstrakt algebra (kommutativ), var fra Feit og Thompson, der i 1960'erne beviste, at ordenen af en ikke-abelsk, endelig simpel gruppe må være endelig. Beviset er omkring 300 sider.

damnn hvad fanden er det for noget? Respekt (:

Mark din tosse !! (:

#0 Hvis alle opretter matematik her bliver det os druknet i debatterne..

Ja. Det er formelt matematik :)