Matematik
vise at noget er en metrik
Hej, jeg skal vise at:
d(x,y) = lx-yl / (1+lx-yl) definerer en metrik på R.
Jeg går ud fra jeg skal bruge de tre krav? Jeg synes det er ret svært at vise kravet med trekantsuligheden, men har fået at vide at man med fordel først kan vise, at funktionen R_+: t-> t/(1+t) er voksende.
Nogen tips til hvordan jeg laver denne opgave? Jeg er ret meget på bar bund, jeg ved ikke engang hvordan jeg skal vise t-> t/(1+t) er voksende for t>0 formelt. På forhånd tak!
Svar #2
21. juni 2009 af Rasmus_Hedegaard (Slettet)
At metrikken er tro og symmetrisk er klart nok. Jeg har ikke tjekket det, men trekantsuligheden reducerer sig sikkert netop til en ulighed på formen t/(1+t) <= s/(1+s), hvor 0<=t<=s (hvor "<=" betyder "mindre end eller lig med"), og så kan du jo netop bruge, at din funktion er voksende på den positive halvakse.
Svar #3
21. juni 2009 af peter lind
Kalder du t =|z-x|, t1 = |y-x| og t2 = |z-y| gælder der 0 ≤ t ≤ t1+t2.
Der gælder nu f(t) ≤ f(t1+t2) ≤ f(t1)+f(t2) hvor uligheden f(t) ≤ f(t1)+f(t2) svarer til trekantsuligheden. Det første ulighedsteg gælder fordi f er monoton voksende og t ≤ t1+t2. Det sidste ulighed svarer til at g(t1)= f(t2)+f(t1) -f(t1+t2) ≥ 0, hvor vi altså sætter t2 til at være en fast vilkårlig værdi. Der gælder at g(0)=0 og g'(t1) >0 for t1 > 0 så funktionen g(t1) er ikke negativ.
Skriv et svar til: vise at noget er en metrik
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.