Matematik
Vis at når f er bijektiv er f^-1 også
17. december 2004 af
Jonas_h (Slettet)
Hejsa!
Hvordan viser man, at hvis en funktion f er bijektiv, er dens inverse f^-1 også bijektiv?
I alle bøger står der bare at det gælder, men kan man vise det på nogen måde?
Hvordan viser man, at hvis en funktion f er bijektiv, er dens inverse f^-1 også bijektiv?
I alle bøger står der bare at det gælder, men kan man vise det på nogen måde?
Svar #1
17. december 2004 af madsbs (Slettet)
Du ved, at f er bijektiv. Du ved også, at (f^-1)^-1 = f, så derfor må f^-1 også være bijektiv.
Svar #2
17. december 2004 af Jonas_h (Slettet)
Jamen forstår bare ikke hvordan det kan vise at f^-1 er bijektiv?
Svar #3
18. december 2004 af hamma (Slettet)
Lad f: X -> Y være bijektiv (injektiv og surjektiv)
Da f er injektiv er f^-1 en veldefineret fkt. og da f er surjektiv er domænet(f^-1) = Y og range(f^−1) = X, så f^−1 er surjektiv (f^−1 er veldefineret da f er defineret i alle X).
Antag f^−1(y1) = f^−1(y2) = x i X.
Så er f(f^−1(y1)) = f(f^−1(y2)) ( og er y1 = y2) så f^-1 er injektiv.
Da f^-1 er injektiv og surjektiv er den pr. definition bijektiv
Da f er injektiv er f^-1 en veldefineret fkt. og da f er surjektiv er domænet(f^-1) = Y og range(f^−1) = X, så f^−1 er surjektiv (f^−1 er veldefineret da f er defineret i alle X).
Antag f^−1(y1) = f^−1(y2) = x i X.
Så er f(f^−1(y1)) = f(f^−1(y2)) ( og er y1 = y2) så f^-1 er injektiv.
Da f^-1 er injektiv og surjektiv er den pr. definition bijektiv
Skriv et svar til: Vis at når f er bijektiv er f^-1 også
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.