Matematik

SRP - 2. ordensdiff.ligning - hurtigt spørgsmål

16. december 2009 af 123marie (Slettet)

Hej. Fra en kilde har jeg følgende:

For at bestemme løsninger til ay′′ + by′ + cy = 0 gætter vi i første omgang på en
funktion på formen
y(t) = ert,
hvor r er en konstant. Bemærk at
y′(t) = r*e^rt og y′′(t) = r^2*e^rt,
således at
ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = a*r^2*e^rt + b*r*e^rt + c*e^rt
= (a*r^2 + b*r + c)e^rt.

Dette forstår jeg, men så kommer følgende:
Det fremgår altså, at y(t) = e^rt er en løsning til ay′′ + by′ + cy = 0 hvis og kun
hvis konstanten r er en løsning til 2. grads ligningen:
ax^2 + bx + c = 0.

Hvordan fremgår det med 2.grads ligningen ud fra det lille stykke?

På forhånd mange tak for hjælpen. :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. december 2009 af peter lind

Du har ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = a*r²*e^rt + b*r*e^rt + c*e^rt
= (a*r² + b*r + c)e^rt= 0. Da e^rt ≠ 0 er ligningen netop opfyldt hvisa*r² + b*r+ c = 0, hvilket netop betyder at r er rod i den angivne andengradsligning.

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. december 2009 af mathon

hvis e^rt
er en løsning til

ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = 0
gælder

a(e^rt)" + b(e^rt)' + c·e^rt = 0

ar²·e^rt + br·e^rt + c·e^rt = 0

(ar² + br + c)·e^rt = 0 hvilket da e^rt>0 for alle t
kræver

ar² + br + c = 0 den karakteristiske 2.gradsligning = karakterligningen

hvoraf
r = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)

løsningen til en lineær 2.ordens differentialligning med reelle koefficienter
ender således
op i
løsning af den karakteristiske 2.gradsligning

løsningen til den lineære 2.ordens differentialligning med reelle koefficienter

er for

b² - 4ac > 0 C₁·e^r₁t + C₂·e^r₂t

b² - 4ac = 0 (C₁+C₂x)·e^r₁t

b²- 4ac < 0 C₁·e^i·r₁t + C₂e^i·r₂t

Skriv et svar til: SRP - 2. ordensdiff.ligning - hurtigt spørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.