Matematik

2 ting ;) cirkler og volumen

29. januar 2005 af Eva (Slettet)

Hey :)

der er lige 2 af opgaverne i min mat-aflevering jeg ikke kan finde ud af. håber der lige er en venlig sjæl som har tid til at hjælpe ;)

1)
skulle udregne cirkelligningen det har jeg gjort -->

(x + 11)^2 + (y + 2)^2 = 8^2

nu kommer mit problem..

En anden cirkel har centrum A(-1,3) og r = 5

gør rede for at disse cirkler har et fælles punkt.

hmm.. skal jo nok først udregne cirkelligningen for den nye cirkel.. og sætte den lig med den anden.. men.. så har jeg jo 2 ubekendte?? eller hvad.. måske skulle jeg isolere y.. og dermed går de 2 y'er ud med hinanden.. og så sætte den x-værdi jeg finder ind i en af ligningerne??
er altså ikke sikker.. håber i kan hjælpe

2)
En glasmontre skal anbringes på et bord i et hjørne af et rum, således at bordet udgør bunden og væggene udgør to af siderne. toppen og de to resterende sider udskæres af en rektangulær plade, der er 3 m lang og 2 m bred. dette sker ved at man skærer langs de stiplede linier og fjerner kvadratet med siden x.

x
..............................
. - . x
------------------------------. - . 2m
. - .
. - .
. - .
...............................
3m

skal beregne montrens volumen.. som funktion af x og målt i m. men ved ikke hvad jeg skal gøre..
håber der er en som vil hjælpe :)

Mvh Eva

Svar #1
29. januar 2005 af Eva (Slettet)

ej... min fine tegning ændrede sig :( hmm...

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

Hmm...du må have lavet en fejl, for med den cirkelligning, du har opskrevet i indlægget, har cirklerne to skæringspunkter.

Prøv at opskrive opgaveteksten herinde, så ser vi på, hvad der kan være gået galt.

//Singularity

Svar #3
29. januar 2005 af Eva (Slettet)

nå da.. var da ikke så godt :/

nå men her kommer den:

I et koordinatsystem er en cirkel C1 bestemt ved ligningen:

x^2 + y^2 - 22x + 4y + 61 = 0

Bestem radius og centrum (har jeg gjort)

En anden cirkel C2 har centrum i punktet A(-1,3) og radius 5

gør rede for at de to cirkler har netop 1 punkt fælles.

bestem hældningskoefficienten til cirklerne i dette fælles punkt (kan jeg nok godt selv ;))

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Aaah, en ganske simpel fortegnsfejl :-) Den korrekte cirkelligning i første spørgsmål er i stedet

(x-11)^2 + (y+2)^2 = 8^2

Du kan argumentere noget lettere for, at cirklerne har netop ét fælles punkt.
Hvad må der nemlig gælde om afstanden mellem cirklernes centre?

//Singularity

Svar #5
29. januar 2005 af Eva (Slettet)

nåå ja.. doh.. typisk mig at overse sådan noget..

jamen hvis de skal have netop et punkt må de jo være 8 + 5 (radiuserne) fra hinanden??? er ikke helt sikker på hvor du vil hen.. ?? men dette beviser jo ikke ligefrem at der kun er et punkt da man går ud fra det..

Eva

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Ja, lige præcis, og du har mulighed for at eftervise, at afstanden mellem centrene er summen af radierne;

r1 + r2 = 8 + 5 = 13

Du kender koordinatsættene til begge centre, så prøv at beregne, om ikke afstanden mellem de to punkter er præcis 13. Det beviser, at der er præcis ét fælles punkt.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Hvis du er kørt fast, så spørg endelig :-) Vi er her for det samme.

//Singularity

Svar #8
29. januar 2005 af Eva (Slettet)

okay ;p

det hjalp... tusind tak for hjælpen :)

Mvh Eva

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

kan ikke hjælpe med opg 2... den ser rimelig tricky ud... gad godt se hvordan den blev regnet.
opg 1 ser rigtig ud efter singularity har hjulpet ;)

god arbejdslyst

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

hvis der er nogen derude som fatter opg 2, må de da gerne lige skrive hvad de har fået frem til ;)

ha' en go' daG

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Forummet er langtfra velegnet til indsættelse af figurer. Jeg vover at gætte på, at det er selvsamme opgave, jeg regnede engang i 2.g.

Ved at gøre som beskrevet i Evas første indlæg, bliver montrens højde x, og siderne i bunden er (2-x) hhv. (3-x). Montrens volumen V er så

V(x) = (3-x)*(2-x)*x (1)

hvilket naturligvis kun har mening, såfremt x E ]0;2[. Ellers er der ikke så meget glasmontre, at det gør noget :-)

Multipliceres parenteserne ud, ender man med

V(x) = x^3 - 5x^2 + 6x

som der vistnok spørges til i opgaven.
Dernæst skal man bestemme x, således, at montrens volumen maksimeres. Det er en simpel optimeringsopgave, som involverer differentiation og monotoniforhold for V(x) baseret på fortegnsvariationen for den afledede funktion V'(x).

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

ahh nu ser jeg hvordan du er kommet frem til V(x), men bagefter sy jeg du springer over hvor gæret er lavest, og fravælger at komme med konkrete svar, men derimod bare siger "så finder man didden og dudden"

ville gerne se hvordan du får frem til det hele mester ;)

Brugbart svar (0)

Svar #13
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

Singularity - show me what u got!

Brugbart svar (0)

Svar #14
06. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#12,13: Nok springer jeg over, hvor gærdet er lavest, men alting bliver skam ikke serveret på et sølvfad. Du skal selv arbejde for sagen :-)

Den afledede af V indses ved differentiation at være

V'(x) = 3x^2 - 10x + 6, x E ]0;2[

Bestem fortegnsvariationen for V' og brug dernæst monotonisætningen til at slutte, hvori maksimum for V antages.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

hehe, behøver ikke at arbejde for sagen, da jeg ikke skal bruge den opg til andet end at blive klogere... er netop begyndt at lære om differentialkvotient og alt det der, men er ikke kommet til hverken det der fortegns noget og monotoni forhold, derfor synes jeg det er spændende at følge med i bogen, mens der er en der viser hvordan man gør. så kommer jeg foran resten af dem i klassen, og kan derefter lege lidt med matematikken.

håber du vil forklare lidt hvad fortegnsvariation, monotonisætning og maksimum er for noget. på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #16
06. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Monotonisætningen udtaler sig om, at man kan afgøre en differentiabel funktions monotoniforhold [hvor den er voksende, aftagende samt antager lokale ekstrema (maksima og minima)] ved at betragte fortegnsvariationen for den afledede funktion.

Lad os betragte det allerede nævnte eksempel ovenfor. Vi har fra #14, at

V'(x) = 3x^2 - 10x + 6, x E ]0;2[

V' er et andengradspolynomium, og rødderne findes på sædvanlig vis. Diskriminant

D = (-10)^2 - 4*3*6 = 28

nulpunkter

V'(x) = 0 <=>
x = [10 +/- sqrt(28)]/6 = 1/3*[5 +/- sqrt(7)]

og fortegn;

V'(x) > 0 <=> x E ]0 ; 1/3*(5-sqrt(7))[
V'(x) < 0 <=> x E ]1/3*(5-sqrt(7)) ; 2[

Bemærk, at vi bortkaster roden

x = 1/3*[5+sqrt(7)] = 2.548... > 2

da den ikke tilhører definitionsmængden.

Af fortegnsvariationen sluttes, at

V(x) er voksende i ]0; 1/3*(5-sqrt(7))]
V(x) er aftagende i [1/3*(5-sqrt(7)) ; 2[

så

x = 1/3*[5-sqrt(7)] = 0.784...

maksimerer voluminet V.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #17
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

uhh... det lyder som om du er tjek på det... men hvor langt siden i det kvadrat, der skal bortslæres, når montrnes rumfang skal være så stort som muligt?

Brugbart svar (0)

Svar #18
06. marts 2005 af andreasc (Slettet)

er det de 0,7847 ?

Brugbart svar (0)

Svar #19
06. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#18: Ja, såmænd.

Det eksakte resultat er i øvrigt anført i #16, men det siger nok kun de færreste noget, at man skal bortskære et kvadrat med sidelængde

1/3*[5-sqrt(7)]

for at maksimere kassens volumen. Det er lettere at forholde sig til 0.784...

//Singularity

Skriv et svar til: 2 ting ;) cirkler og volumen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.