Projektion af linje på plan

Find 2 punkters projektion på planen. Det ene af punkterne kan godt være linjens skæring med diagonalen. Projektionen af et punkt på planen som skæringen mellem planen o den linje, der går igennem punktet og som har normalvektoren til planen som retningsvektor

Det forstår jeg godt nok ikke meget af.. Skal vidst have lidt mere hjælp :/

Forstår ikke hvordan jeg helt konkret griber den an!

Skæringspunktet mellem linjen og planen med TI89'eren:

solve(-9x+4y-z+22=0 and x=t and y=8+5t and z=-3+7t,{x,y,z,t})  
hvilket "outputter":    t=-17/6 and x=-17/6 and y=-37/6 and z=-137/6

Skæringspunktet mellem linjen og planen S(x,y,z) = ( =-17/6, -37/6, -137/6)

Herefter finder du projektionen af punktet (0, 8, -3) på planen, - derefter skulle dt være en smal sag at bestemme en parametfremstilling for linjens projektion i planen udfra de to punkter :-) 

pvm du skriver godt nok parameterfremstilling for linjens projektion! Er det det samme som ligningen til projektionen?

... Får imidlertid nogle lidt andre x,y og z-værdier.. Temmelig mærkeligt

#5 Ups, må have tastet forkert (det kan jo ske), - hvad med disse værdier:

solve(-9x+4y-z+22=0 and x=t and y=8+5t and z=-3+7t,{x,y,z,t})
hvilket "outputter": t=-57/4 and x=-57/4 and y=-253/4 and z=-411/4

Skæringspunktet mellem linjen og planen S(x,y,z) = ( -57/4, -253/4, -411/4)  ligner det dem, du får?
 

Vedr. #4
Fra den todimentionelle geometri kan en linjen beskrives med en ligning på formen:

hvor er et punkt på linjen og er linjens normalvektor

I den tredimentionelle "verden" kan man ikke fastsætte en normalvektor til en linje, men en retningvektor er "gangbar", og med en retningsvektor og et punkt på linjen kan man fastsætte en parameterfremstilling. Så efter min mening må det være en parameterfremstilling til linjens projektion, der er svaret på opgaven.  

Ja.. det er de samme værdier som jeg får!

Hvordan siger du så man finder projektionen af det faste punkt (0,8,-3) på planen?

En retnings vektor for linien er vektoren

s = (1, 5, 7), der har længden √75 .

En normalvektor til planen aflæses direkte af dens ligning til

n = (-9, 4, -1) med længden √98 . Og vi har s•n = -9 +20 -7 = 4

Vi kan opløse vektoren s i en komposant p i planen og en komposant q i normalvektorens retning, altså

s = p + q . Vektoren p er projektionen af s på planen, og der gælder p•q = 0. Vi finder nu

s•q = |q|² og s•p = |p|² , og s•s = |s|² = |p|² + |q|² . Nu er q = an, hvor a er et reelt tal, så

a s•n = a²|n|² og dermed 4a = 98a² eller a = 49/2 . Altså er projektionen

p = s - an = (1, 5, 7) - 49/2 (-9, 4, -1) = (443/2, -93, 63/2)

Dernæst finder vi skæringspunktet mellem linien og planen ved at indsætte parameterværdierne for x, y, og z i planens ligning:

-9t + 4(8+5t) -(-3+7t) + 22 = 0, eller t = -57/4. Skæringspunktet er da, som også fundet i #6,

P₀ : (-57/4, -253/4, -411/4).

En parameterfremstilling for projektionen af linien på planen findes, idet projektionen skal gå gennem P₀ og have retningsvektor p :

(x, y, z) = (-57/4, -253/4, -411/4) + t (443/2, -93, 63/2)

Projektionen af det faste punkt Q: (0, 8, -3) på planen kan vi finde på følgende måde. Da Q ligger på den oprindelige linie, ligger dets projektion Q_p på den projicerede linie, hvis parameterfremstilling vi fandt i #9. Der findes da en parameterværdi t, således at det tilsvarende punkt på den projicerede linie netop er Q_p. Vektoren QQ_p er normal til planen og dermed parallel med planens normalvektor n. Det vil sige, at der må gælde, at

QQ_p×n = 0 eller

(-57/4, -285/4, -399/4)×(-9, 4, -1) + t(443/2, -93, 63/2)×(-9, 4, -1) = (0, 0, 0)

eller (1881/4, -1881/4, -2793/4) + t(-33, 33, 49) = (0, 0, 0), eller t = 57/4 .

Ved indsættelse af t = 57/4 i den projicerede linies parameterfremstilling får vi koordinaterne for punktet Q's projektion Q_p på planen

Q_p: (-57/4, -253/4, -411/4) + 57/4 (443/2, -93, 63/2) = (25137/8, -11108/8, 2769/8) = (3142,125; -1388,5; 346,125)

Hmm, jeg lavede en fejl i #9.

Værdien af skal jo være a = 4/98 = 2/49, ikke 49/2 , derfor får jeg sådan nogle enormt store koordinatværdier. Så om igen i den sidste del. Så projektionsvektoren p er

p = s - an = (1, 5, 7) - 2/49 (-9, 4, -1) = (67/49, 237/49, 345/49)

Parameterfremstillingen for den projicerede linie er da

(x, y, z) = (-57/4, -253/4, -411/4) + t (67/49, 237/49, 345/49)

Resultatet i #10 er derfor også forkert, selvom fremgangsmåden stadig kan benyttes. Vi finder af QQ_p×n = 0 at

(-57/4, -285/4, -399/4)×(-9, 4, -1) + t(67/49, 237/49, 345/49)×(-9, 4, -1) = (0, 0, 0) , eller

(1881/4, 3534/4, -2793/4) + t(-33, -62, 49) = (0, 0, 0), at t = 57/4, og dermed for Q_p

Q_p: (x, y, z) = (-57/4, -253/4, -411/4) + 57/4 (67/49, 237/49, 345/49) = (513/98, 556/98, -237/98) = (5,235; 5,673; -2,418)