Bestem mindste afstand mellem kurver

du skal undersøge, hvad der sker, når x går mod 1 fra højre og når x går mod 1 fra venstre

Skal jeg ikke have fat i grænseværdierne?

lim(1/ln(x) x-->1^+

lim(1/ln(x) x-->1^-

jo det er også det, jeg skriver

Hvordan kan jeg så regne den mindste afstand?

Den går mod plus uendeligt fra højre og minus uendeligt fra venstre. Men det svarer jo ikke rigtigt på spørgsmålet om hvordan man finder den mindste afstand.

Er det noget der skal løses analytisk eller bare numeriskt?

Vil tro det er numerisk siden der står "bestem" og ikke "undersøg", men ved ikke?

Prøv at tegne grafen for 1/ln(x). Grafen er delt i to adskilte grene med lodret asymptote ved x= 1. Grafen ligner de to hyperbelgrene for funktionen 1/x (hvor asymptoten er ved x = 1), og det er klart, at der må være en mindste afstand mellem de to grene. Den kan muligvis bestemmes analytisk; men i hvert fald kan den bestemmes numerisk.

kan godt se på min tegning at der er en mindste afstand på ca. 2-3
Hvordan vil du beregne den numerisk?

find f₁ af funktionen D (brug afstandsformlen) og sæt udtrykket lig 0, benyt at x-værdien er den samme

I princippet skal man betragte ethvert punkt x₁ i ]0; 1[ og ethvert punkt x₂ i ]1; ∝[ og se på afstanden

D(x₁, x₂) = √((x₂-x₁)² + (1/ln(x₂) - 1/ln(x₁))²)

og finde minimum over x₁ og x₂ i de nævnte intervaller.

Det bliver lidt simplere ved at se på D(x₁, x₂)²

okay - mange tak for hjælpen
 

Interessant indlæg # 0 .

 Også selv om trådstarter er slettet af listen.

#12

Tager man udgangspunkt i afstandskvadratet

D(x₁;x₂)² = (x₂-x₁)² + (1/ln(x₂) - 1/ln(x₁))²

er denne defineret for (x₁,x₂) ∈ ]0;1[ × ]1;∞[ . Den kan dog udvides som kontinuert funktion til at være defineret på [0;1[ × ]1;∞[ .

Man kan vise, at funktionen D(x₁;x₂)² ikke har nogen stationære punkter i sit indre. Vi undersøger derfor funktionen på randen

D(0;x₂)² = x₂² + 1/(ln(x₂))² , 1 < x₂ .

Her har vi

dD(0;x₂)²/dx₂ = 2x₂ - 2/((ln(x₂))³·x₂)

og betingelsen for ekstremum dD(0;x₂)²/dx₂ = 0 fører da til ligningen

x₂² · (ln(x₂))³ = 1 ,

der løses numerisk med løsningen

x₂ = 1,913327998268 ,

med en mindste afstand mellem de grene af grafen

Dmin = 2,105095039

# 13
Hej Torben. Tak for indlægget.

Med betegnelserne  x₂  og  D_min  som anvendt i indlægget, har vi vel, at der gælder:

{ (x ; y) | ( x - x₂ )² + ( y - f (x₂) )² = (D_min)² }  ∩  { (x ; y) | 0 < x < 1  ∧  y = f (x)  }  =  ∅

D_min  kan jeg derfor ikke forstå.

#14

Hej Sune. Eftersom f(x) → 0 for x → 0⁺ kan man udvide funktionen D(x₁;x₂)² til en kontinuert funktion på mængden [0;1[ × ]1;∞[ , og det er denne funktion, der antager et minimum på randen.

Der må have været indsneget sig en fejl i eller under kalkuleringen af  D_min i # 13.
dist [ ( 0 ; 0 ) ; ( x₂ ; f (x₂) ) ]  =  √ [ x₂²  +  ( f (x₂) )² ]  ≈  2,4569

Herved vil
{ (x ; y) | ( x - x₂ )² + ( y - f (x₂) )² = (D_min)² }  ∩  { (x ; y) | 0 ≤ x < 1  ∧  y = f (x)  }  ≠  ∅
og resultatet give mening.

#16

Ja, du har ret, jeg har beregnet D_min forkert ud fra værdien x₂ = 1,913327998268 .

Det skal, som du angiver, være D_min ≈ 2,456853 . Mange tak for korrektionen.