Et lille bevis

 Du ved at 

og du ved at

Nu kan du bruge den første information til at vise at summen af et virkårligt antal elementer i Y stadig er i Y.

Det vil nok hjælpe at skrive logikken ned i logisk form:

1) y, y' ∈Y ⇒ (y+y') ∈Y

2) 0 ≤ t ≤ 1 ∧ y ∈Y ⇒ t*y ∈Y

Vis: 0 < s ∧ y ∈Y ⇒ s*y ∈Y

Vi må formode, at Y er en delmængde af de reelle tal R og at kompositionerne + og * er de sædvanlige kompositioner addition og multiplikation af reelle tal.

Lad nu s > 0. Hvis s ≤ 1 , er der intet at vise, da vi falder under antagelsen 2). Hvis s > 1, kan vi vise sætningen ved induktion. Dvs, vi kan vise, at hvis der gælder:

p(n): n-1 ≤ s ≤ n ∧ y ∈Y ⇒ s*y ∈Y

for et naturligt tal n, så gælder der også p(n+1) .

Antag, at der gælder p(n). Lad nu n ≤ s ≤ n+1 . Så kan vi skrive s*y = ((s-1)+1)*y = (s-1)*y + y , hvor n-1 ≤ (s-1) ≤ n . Da er (s-1)*y ∈Y og y ∈Y, så vi ser at s*y ∈Y, og dermed har vi vist p(n+1). Og 2) udsiger, at der gælder p(1). Dermed har vi vist det ønskede.