Matematik

Integration ved substitution

02. marts 2005 af Miarv (Slettet)

Jeg skal regne et par integraler vha. substitution, men kan umiddelbart kun komme på hvordan det kan gøres vha. partiel integration.

Opgaverne er:
int(x/sqrt(x-1))
og
int(x^2/sqrt(3x+2))

Jeg håber nogen kan hjælpe mig til hvordan de skal gribes an.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. marts 2005 af Duffy

Bru substitutionen t = x-1:

int(x/sqrt(x-1)) =

2*(x-1)^(1/2)+2/3*(x-1)^(3/2) + k

Partiel int - måske?

int(x^2/sqrt(3x+2)) =

2/135*(3*x+2)^(5/2)-8/81*(3*x+2)^(3/2)+8/27*(3*x+2)^(1/2)+k

Duffy

Svar #2
02. marts 2005 af Miarv (Slettet)

De skal begge laves med substitution ifølge min lærer, selv om partiel integration forekommer mig langt mere naturligt at anvende.

Jeg har prøvet at sætte t=x-1 i den første, men hvordan er det du kommer videre der? Kan du prøve at skrive udregningen eller forklare det nærmere?

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: I Duffys fravær vil jeg tillade mig at uddybe, hvad jeg formoder, at han gør i #1.

Vi skal finde det ubestemte integral

int[x/sqrt(x-1)dx]

Med substitutionen

t = x-1

fås dt = dx og x = t+1. Ved at opsplitte integranden

(t+1)/sqrt(t) = sqrt(t) + 1/sqrt(t)

har vi derfor, at

int[(t+1)/sqrt(t)dt] =
int[(sqrt(t) + 1/sqrt(t))dt] =
2/3*t^(3/2) + 2*t^(1/2) + k =
2/3*(x-1)^(3/2) + 2(x-1)^(1/2) + k

hvor k E R er en integrationskonstant. Det er præcis, hvad Duffy får i #1.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Det andet ubestemte integral;

int[x^2/sqrt(3x+2)dx]

håndteres på helt tilsvarende vis.
Substituér

t = 3x+2

Da har vi, at

dx = 1/3*dt og x^2 = [1/3*(t-2)]^2

og dermed

x^2/sqrt(3x+2)dx =
1/3*[1/3*(t-2)]^2 / sqrt(t) dt =
1/27*(t-2)^2 / sqrt(t)dt =
1/27*[t^(3/2) - 4*sqrt(t) + 4/sqrt(t)]dt

Dermed er integranden omskrevet til en sum. Herfra er det ligetil at fuldføre integrationen, hvilket jeg overlader til dig.

//Singularity

Svar #5
02. marts 2005 af Miarv (Slettet)

Mange tak for hjælpen, så fik jeg styr på dem alligevel.

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.