Side 2 - Opgave

så er det k der er indekset?

Ja.

 z^n * sum(a_n-k  gange z^-k)

= sum(a_n-k gange z^(n-k)), hvor vi summer fra k=0 til n.

Hvad giver dette?

 det skal give P(z) , men hvordan vises det?

zⁿ*∑a_n-k(1/z)^k = ∑a_n-k*z^n-k = ∑a_k*z^n-k= P(z) idet det er det oprindelige polynomium blot er summationen  kørt baglæns. Skift eventuel summationsvariabel.
 

Hvorfor bliver a_(n-k) til a_k ?

Det er givet i opgaven at det gælder.

 du bliver nødt til at forklare

 Hvorfor gælder det næstsidste lighedstegn i #25 ??

I anden linje i opgaven står der "a₀ ≠ 0, og antag at a_n-k = a_k ; k = 0; 1; : : : ; n." Fed og understregning tilføjet.

Jeg tror du har været så langt ned i detaljen over så lang tid at du har glemt den oprindelige opgave. Du skal vise at for et polynomium P(x) = ∑a_n-kx^k hvor  a_n-k = a_k  gælder at  a) 0 ikke er rod og b) hvis z₀ er rod er 1/z₀ det også. Dette holder klart ikke for alle polynomier, men det holder altså for polynomier, hvor betingelsen a_n-k=a_k holder. Beviset for b) går så på at man viser at for z ≠ 0 gælder zⁿP(1/z) = P(z) og derfor hvis z₀ er rod gælder Z₀ⁿP(1/z₀) = P(z₀) = 0, hvilket så igen medfører at P(1/z₀)=0

Ja, det har du ret i. Jeg havde slet ikke overvejet det nøje, men  det giver mening nu.

 #31 Hvordan vil indekserne se ud på sum-tegnet?

Du har ∑a_k*z^n-k= P(z). Dette er taget direkte fra opgaven så k løber fra 0 til n. Hvis du vil have det til at ligne det oprindelige polynomium mere kan du sætte k = n-i . Det giver ∑a_n-i*zⁱ= P(z) . Derefter kan du så kalde i for k i stedet for. Det er blot et navn

 Men nedenstående gælder?

SUM(k=0 til n) a_k * z^k = SUM(k=0 til n) a_k * z^(n-k)

#35 nej det gør det ikke ... se på hvad Peter skriver i #34

Nu skriver jeg hele udregningen op.

z^n * P(1/z)

= z^n * ∑(k=0 til n) a_(n-k) * (1/z^k) 

= ∑(k=0 til n) a_k * z^(n-k)

= ?

hjælp 

#38

Der er givet polynomiet p(z) = ∑_k=0ⁿ a_n-k z^k af en kompleks variabel, og det er givet, at polynomiet har grad n ≥ 1 , dvs. a₀ ≠ 0, og desuden er givet, at a_n-k = a_k for alle k =0,1,...,n . Heraf følger, at a_n = a₀ ≠ 0 , og dermed, at

p(0) = a_n ≠ 0 , dvs. at z = 0 ikke er rod i p(z). 

Hvis z er en rod i p(z) , gælder p(z) = 0, og det må medføre, at z ≠ 0 , da z = 0 ikke er rod i p(z) .

Lad nu z ≠ 0 være en rod i p(z) . Da gælder p(z) = 0. Vi har nu

p(1/z) = ∑_k=0ⁿ a_n-k·(1/z)^k = (1/z)ⁿ·zⁿ·∑_k=0ⁿ a_n-k·z^-k

           = (1/z)ⁿ ·∑_k=0ⁿ a_n-k·z^n-k

           = (1/z)ⁿ·∑_k=0ⁿ a_k·z^k 

           = (1/z)ⁿ·∑_k=0ⁿ a_n-k·z^k

          = (1/z)ⁿ·p(z) = 0 ,

hvilket viser, at (1/z) også er rod i polynomiet p.

I eksemplet er p(z) = 2z⁴ - 3z³ - z² - 3z + 2 , og det oplyses, at z = 2 er rod. Polynomiet er af den type, der er betragtet ovenfor, så det følger, at z = (1/2) også er rod i polynomiet. Der kan derfor udføres polynomiers division med divisoren (z-2)(z-(1/2)) = z² - (5/2)z + 1 , og vi får

p(z) = 2(z-2)(z-(1/2))(z²+z+1) . Af det sidste 2.-gradspolynomium følger, at de to resterende rødder er

z = -(1/2) ± (i/2)√3

 Tusind tak !

Jeg fik også de samme rødder til sidst. 

(-1/2 + (i/2)3^0,5 )^-1 =  -1/2 - (i/2)3^0,5