Tangens (problemer)

Ud fra de oplysninger kan du beregne skibenes afstand til den linie (fyrtårnslinien), der er vinkelret på kystlinien, og som går gennem fyrtårnet F. Du har selvfølgelig lavet en tegning, hvilket gør det meget nemmere at gennemskue.

Men vi kan ikke af dine oplysninger se, om skibene er på samme side af fyrtårnslinien eller på hver sin side af den, og vi kan ikke se om de sejler i samme eller modsat retning. Endelig mangler vi den hastighed, hvormed skibene sejler, så opgaven er umulig at løse på baggrund af dine oplysninger. Hvis du vil have mere hjælp, bliver du nødt til at formulere din opgave lidt mere fuldstændigt.

Der er ikke nok oplysninger til at kunne besvare opgaven.

Se på den retvinklet trekant, som har vinkelspidserne skibets position, fyrtårnet. samt et punkt, der ligger skibets afstand fra kysten  ude foran fyrtårnet. (jeg går ud fra at fyrtårnet står på kysten altså i vandkanten.)

Ja, det har du da ret i :)

Men her er det hele jeg er fundet frem til indtil videre:

3.

To skibe A og B sejler med konstant hastighed parallelt med en kystlinje l. A sejler i afstanden 1200 meter fra l, mens B sejler i afstanden 1000 meter fra l. Klokken 12.00 er vinklen v mellem sejlretningen for A og sigtelinjen fra A til et fyrtårn F lig med 40º, mens det for B gælder, at den tilsvarende vinkel u er lig med 48º.

a) Beregn afstanden fra hvert af de to skibe til fyrtårnet.

Vi kigger på trekant GAF:

A = 90º - 40º <=>
A = 50º.

F = 180º - 90º - 50º <=>
F = 40º.

g = f / sinF = g / sinG <=>
g = 1200 m / sin(40º) = g / sin(90º) <=>
g = 1200 m * sin(90º) / sin(40º) <=>
g = 1866,87 m.

Hermed er afstanden fra skib A til fyrtårnet 1866,87 m.

Derefter kigger vi på trekant FBC:

B = 90º - 48º <=>
B = 42º

F = 180º - 90º - 42º = 48º

c = f / sinF = c / sinC <=>
c = 1000 m / sin(48º) = c / sin(90º) <=>
c = 1000 m * sin(90º) / sin(48º) <=>
c = 1345,63 m.

Afstanden mellem skib B og fyrtårnet er 1345,63 m.

b) Beregn afstanden mellem skibene.

F = 180º - 40º - 48º = 92º

Nu findes siden f ved hjælp af cosinusrelationerne:

f2 = a2 + b2 – 2ab * cosF <=>
f2 = 1345,632 + 1866,82 – a * 1345,6 * 1866,8 * cos(92º) <=>
f2 = 5,47 <=>
f = √5,47 <=>
f = 2339,07

Afstanden mellem skibene er altså 2339,07 m.

c) Beregn det tidspunkt, hvor de to skibe
passerer hinanden.

Vi bruger tangens i Δ AEF, Δ CEF og siden |AC|.
tan(a) = a / b <=> e / a <=> tan(40 o) = 1200m / a1 <=>
solve a1<=> 1200 /tan(2 / 9 * 3,14) = 1430,1m
Og igen finder vi |CE| ved hjalp af samme fremgangsmetode:
tan(c) = c / a2 <=> tan(42o) = 1200 / a2 solve, a2 <=> 1200 / tan(7 / 30 * 3,14) = 1332,7m
Længden af siden |AC| er derfor
|AC| = |AE| – |CE| <=> |AC| = 1430,1 – 1332 = 97,36m
Samme fremgangsmetode benyttes for finde siden |BD| ved trekanterne BGF og DGF.
tan(B) = b / h1 <=> tan(51) = 1000 / g1 solve, g1 <=> 100/tan(4/15*3,14) = 900,4m
|CE|:
tan(D) = d /g2 <=> tan/51o) = 1000/g2 solve, g2 <=> 1000/tan(17 / 60 * 3,14) = 809,8m
|BD|: |BD| = |BA| – |DG| <=> 900,4 – 809,8 = 90,62m
Skib A: 97,4m / 30sek = 3,246m/s
Skib B: 90,62m / 30sek = 3,021 m/s
Nu har vi skibenes hastigheder og mangler nu tidspunktet hvorpå de mødes.
3,246m/s * T + 3,021 m/s * T = 2339,07m <=> T = 2339,07m / 6,267m/s = 373,23sek
373,23sek = 6,22 min. 
<=> kl. 12 + 6,22 = Det vil sige, at skibene passerer hinanden kl. 12:06:22.
 

Lad kystlinien, l, være x-aksen og fyrtårnet stå i (0,0). Så kan du finde skibenes positioner kl. 12.00 (som du jo kan kalde t=0). Her skal du bruge tangens.

Skriv derefter de to skibes x-koordinater som funktion af tiden, t. Det kan du kun gøre, hvis du kender skibenes hastigheder. Og sejler de samme vej eller hver sin vej? Hvis de sejler hver sin vej, er den ene hastighed jo negativ.

Derefter kan du sætte de to x-koordinater lig med hinanden og finde tiden t. Husk at lægge tiden sammen med kl. 12.00.

#3

Man finder da vinkel A = 40º og dermed |AG| = 1200m/tan(40º) = 1430,10m .

Tilsvarende fås |BC| = 1000m/tan(48º) = 900,40m

Det ser ud som om skibene er på hver sin side af fyrtårnslinien FG . Afstanden mellem skibene er da hypotenuse i en retvinklet trekant, hvis ene katete er 1200m-1000m = 200m, og hvis anden katete har længden |AG|+|BC| = 2330,50m. Afstanden mellem skibene er da

|AB| = √(2330,502 + 2002) = 2339,07m

Når du skal beregne, hvornår de to skibe mødes, husk på, at de ikke kolliderer. Den samlede afstand er afstanden projiceret på kystlinien, altså |AG|+|BC| = 2330,50m , ikke 2339,07m , så tiden, der går før de mødes er

T = 2330,50m/((3,246+3,021)m/s) = 371,87s = 6min 11,87s , dvs de mødes kl. 12:06:11,87 .

Okay, tak for hjælpen Andersen :)

Ja, undskyld, men, hvis vi går ud fra, at begge skibe sejler mod højre med hastighederne

v_A = 3,246 m/s og v_B = 3,021 m/s

behøver vi kun at interessere os for x-koordinaterne, som ved start er

x_A0 = - 1200m / tan 40º = - 1430 m  og  x_B0 = - 1000m / tan 48º = - 900 m.

I fysik møder vi formlen x = x₀ + v·t, som her giver

x_A = - 1430m + 3,246m/s·t  og  x_B = - 900m + 3,021m/s·t

A overhaler B, når x_A = x_B, dvs.

- 1430m + 3,246m/s·t = - 900m + 3,021m/s·t  ⇔  (3,246m/s - 3,021m/s)·t = 1430m - 900m

⇔0,225m/s·t = 530m  ⇔  t = 2355 s = 39min 16sek.

Altså er klokken 12:39:16

Lidt langt fra jeres resultater; men den relative hastighed er jo forskellen mellen de to hastigheder, og ikke summen. Desuden er den relevante "x-afstand" forskellen mellem x-koordinaterne.

Hvad siger I?

#7

Interessen har hele tiden kun været om x-koordinaterne. I løsningen i #5 har jeg antaget, at skibene til at begynde med befinder sig på hver sin side af det jeg kalder fyrtårnslinien. Det drejer sig da om at finde, hvor lang tid det tager at tilbagelægge afstanden 1430m+900m med hastigheden v_A+v_B , hvilket bliver ca 6min 12 s. Denne antagelse er i overensstemmelse med opgavestillerens egen løsning i #3.

Hvis man i stedet, som du, antager, at skibene er på samme side af fyrtårnslinien, drejer det om at bestemme, hvor lang det tager at tilbagelægge afstanden 1430m-900m med hastigheden v_A-v_B . Og det bliver, som du korrekt beregner, 39,25 min = 39min 16s .

Vi må overlade det til opgavestilleren at afgøre, hvilken af de to antagelser, der er i bedst overensstemmelse med opgaven (måske der findes en figur i opgaven, som vi blev forskånet fra at se).

Ja, det har du jo ret i :-)

Hvad er svaret til spørgsmål a så? altså afstanden fra hvert af de to skibe til fyrtårnet?

#10 -- Det blev vist givet i #3 .

g = f / sinF = g / sinG <=>
g = 1200 m / sin(40º) = g / sin(90º) <=>
g = 1200 m * sin(90º) / sin(40º) <=>
g = 1866,87 m.

Men skal det der lille g ikke være et stort g?
 

#5 hvor kommer tallet 2002 fra i denne ligning??

|AB| = √(2330,502 + 2002) = 2339,07m

Jeg mener denne ligning...
 

#14 -- Der skulle stå

|AB| = √(2330,50² + 200²) . Hvis du læser forklaringen, fremgår det, at det er Pythagoras på spil. Jeg beklager, at jeg overså, at jeg havde glemt at sætte eksponenter her.

Jeg aner ikke hvor linje AG er og C, de er ikke vist på tegningen??