Bevis f(x) = 0 ingen løsning i ...

sæt g(x)=1/x og h(x)=cot(x) og tegn det op og løs den grafisk, bemærk x≠0 og sin(x)≠0→x≠??

Jeg synes, den er lidt omfattende; men måske kan nogen finden en anden metode. x må ikke være n·π, n∈Z.

Hvis du begynder at finde en løsning til (1/x) - (cos(x)/sin(x)) = 0, kan du omskrive til

(1/x) = (cos(x)/sin(x))  og  x = tan(x)

Her må x ikke være π/2 eller 3π/2; men hvis vi indsætter, ser vi, at de ikke er løsning til den oprindelige ligning. Eventuelle løsninger skal altså søges i ligningen x = tan(x). Og nu bliver det lidt upræcist:

Tegn først graferne for y = x og y= tan(x), så du kan se, hvad der foregår.

I intervallet ]0;π/2[ er tan(x) > x, fordi y=tan(x) er "stejlere" end y=x, og begge grafer går gennem (0,0). Det kan ses på deres differentialkvotienter. Her er der så ingen løsninger. I intervallet ]π/2;π[ er tan(x) negativ og x positiv, så her er heller ingen løsninger.

I intervallet ]π;3π/2[ vil der være en løsning, fordi y=x∈]π;3π/2[, og tan(x) varierer fra 0 til ∝. I intervallet ]3π/2;2π[ er der ingen løsninger, fordi tan(x) er negativ.

Summa summarum: Der er ingen løsninger i ]0;π[ og én løsning i ]π;2π[.

(Pyh)