Matematik
Konvergent række
\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{x^2+n^2}
konvergerer for ethvert reelt tal x, men jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal gøre det. Jeg har tænkt på, om jeg skal bruge, at da rækken udelukkende består af ikke-negative, så konvergerer den, hvis -- og kun hvis -- afsnitsfølgen er begrænset. Jeg har bare ikke rigtig styr på det med afsnitsfølger, så hvis der er en/nogen, som gider hjælpe mig med at regne opgaven (så jeg fremover ved hvordan jeg skal gøre), vil jeg blive rigtig glad.
Svar #3
07. april 2005 af Darwin (Slettet)
Menes der "Summen fra n=1 til uendelig af 1/(x^2 +n^2)" ?
Svar #4
07. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Svar #5
07. april 2005 af Brian (Slettet)
For ethvert reelt x og naturligt n gælder:
1/(x^2 - n^2)
Resultatet følger nemlig så af sammenligningskriteriet. (Som siger, at en række hvis led alle er mindre en leddene i en konvergent række selv er konvergent).
Svar #6
07. april 2005 af Brian (Slettet)
For ethvert reelt x og naturligt n gælder:
1/(x^2 + n^2)
Svar #7
07. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Nu jeg er i gang med at spørge: Hvad vil det sige at en række konvergerer uniformt? Jeg skal nemlig vise at række ovenfor er uniformt konvergent for ethvert (fastholdt) reelt x ... hvordan gør jeg det?
Svar #9
08. april 2005 af 404error (Slettet)
S_n(x) = \\sum_{i=1}^n f_i(x),
skal gælde at S_n -> f ligeligt, dvs.
lim_{n \\to \\infty} sup_{x \\in A} |f_n(x)-f(x)|=0.
Ifm. din opgave, prøv at kigge i din bog efter "Weierstrass' M-test", og brug det hint, som Brian har givet dig.
Svar #10
08. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Jeg har så lige et allersidste spørgsmål:
Hvordan viser jeg at sumfunktionen
f : R --> R,
hvor f(x) er givet ved den samme uendelig række som før, er kontinuert på hele den relle akse?
Svar #11
08. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Jeg skal også vise, at f(x) går mod nul for x gående mod endelig. Der er givet et hint, hvor jeg kan bruge vurderingen
f(x)
Jeg kan godt vise at vurderingen er sand, men hvordan skal jeg bruge det til at vise det ønskede?
Svar #12
08. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
f(x) <= \\sum_{n=1}^N \\frac{1}{x^2+n^2} + \\sum_{n=N+1}^\\infty \\frac{1}{n^2}.
Svar #13
08. april 2005 af 404error (Slettet)
#11: Prøv med definitionen - det er altid farbar vej i den slags opgaver. Der gælder
lim_{x \\to \\infty} f(x) = 0,
såfremt der for alle \\epsilon>0 findes L>0, så x>L medfører |f(x)|<epsilon. Brug nu dette ifm. det af opgavestilleren anførte hint.
Svar #14
09. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Lad {f_n} være en følge af funktioner defineret på en mængde A og lad f være en funktion, som også er defineret på A. Vi siger at {f_n} konvergerer med f hvis
\\lim_{n \\to \\infty} d_A(f,f_n)=0,
hvor d_A(f,f_n) er afstanden mellem f og f_n over A.
Til #11: Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal gribe det an.
Svar #15
09. april 2005 af 404error (Slettet)
Hvad angår den anden opgave, lad \\epsilon > 0 være givet. For ethvert naturligt tal N kan vi vælge L(N), så x>L(N) medfører
\\sum_{n=1}^N 1/(x^2+n^2)
Overvej selv valg af L(N). Prøv nu at lave noget tilsvarende for det andet led i opspaltningen af funktionsrækken (gør den mindre end epsilon/2 ved at gøre N 'stor nok'), idet du udnytter, at rækken
\\sum_{n=1}^\\infty 1/n^2
er konvergent. Kombinér slutteligt disse to resultater til det ønskede.
Svar #16
09. april 2005 af 404error (Slettet)
Svar #17
09. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)
Iøvrigt har man så ikke et andet navn for en ligelig grænse, for det er ikke en betegnelse jeg har hørt før?
Svar #19
09. april 2005 af 404error (Slettet)
Svar #20
09. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)