Matematik

Side 2 - Konvergent række

Svar #21
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Gider du eventuelt at forklare mig hvorfor det valgte L(N) i #18 kan bruges i #15?

Brugbart svar (0)

Svar #22
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Prøv at indsætte x = L(N) i

\\sum_{n=1}^N 1/(x^2+n^2).

Svar #23
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Så får jeg

\\sum_{n=1}^N \\frac{\\varepsilon}{2N+\\varepsilon n^2}

men hvorfor er det lige mindre med

\\frac{\\varepsilon}{2}?

Det kan jeg ikke lige gennemskue.

Svar #24
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Please ...

Brugbart svar (0)

Svar #25
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Hint: For x => 1 gælder

\\sum_{n=1}^N 1/(x^2+n^2) < \\sum_{n=1}^N 1/(x^2).

Svar #26
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Det kan jeg godt se, men hvorfor hjælper det mig?

Brugbart svar (0)

Svar #27
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Godt. Prøv så at indsætte x = L(N) i denne vurdering.

Brugbart svar (0)

Svar #28
10. april 2005 af Export (Slettet)

Så får jeg, at

\\sum_{n=1}^N \\frac{\\varepsilon}{2N+\\varepsilon n^2}

som jeg godt kan se er sandt.
Har jeg hermed vist, at for L(N) = \\sqrt{2N/\\varepsilon}, da har jeg, at

x > L(N) \ightarrow \\sum_{n=1}^N 1/(x^2+n^2)

eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #29
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Ja - så mangler du blot at argumentere for at andet led af summen kan gøres lille nok blot N vælges tilstrækkeligt stort.

Brugbart svar (0)

Svar #30
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Dvs. andet led i

\\sum_{n=1}^N \\frac{1}{x^2+n^2} + \\sum_{n=N+1} \\frac{1}{n^2}

Svar #31
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Til #28: Hvorfor dæ... blander folk sig nu :-)

Mange tak! Jeg tænkte på, det valgte L(N), er det det man somme tider kalder \\delta_1 og L(N) i sidste led er så \\delta_2 og så sætter man

\\delta = \\min\\{\\delta_1,\\delta_2\\},

hvoraf det så følger?

Brugbart svar (0)

Svar #32
10. april 2005 af 404error (Slettet)

Erstat min med max, så er svaret ja.

Svar #33
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Naturligvis ... tastefejl.

Svar #34
10. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

For resten, har sætningen, der siger at den uniforme grænse af en følge af kontinuerte funktioner er kontinuert (den fra #15), et bestemt navn?

Brugbart svar (0)

Svar #35
11. april 2005 af 404error (Slettet)

Ikke mig bekendt - men den er ganske ligetil at vise ved brug af definitionen på ligelig konvergens, definitionen på kontinuitet samt trekantsuligheden.

Svar #36
11. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

For resten, så vil jeg i grunden gerne have hjælp til at finde et passende L(N) for det andet led af summen. Hvis du evt. gider at fortæller mig hvilket L(N) der duer, så vil jeg gerne selv prøve at finde ud af hvorfor det kan bruges. Er det noget du gider hjælpe mig med?

Brugbart svar (0)

Svar #37
11. april 2005 af 404error (Slettet)

Der er ingen grund til eksplicit at finde et tilsvarende L(N) for andet led. Det er velkendt, at rækken

sum_{n=1}^\\infty 1/n^2,

er konvergent med sum pi^2/6. Brug nu dette i opgaven.

Svar #38
11. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Der er tale om summen

\\sum_{n=N+1}^\\infty \\frac{1}{n^2}

så grænserne er da ikke de samme, men det gør måske ingen forskel?

Brugbart svar (0)

Svar #39
11. april 2005 af 404error (Slettet)

Jo, det gør det bestemt. Hvad kan du sige om

\\sum_{n=N+1}^\\infty 1/n^2

for N gående mod uendelig, når du véd, at følgende række er konvergent

\\sum_{n=1}^\\infty 1/n^2 ?

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Konvergent række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.