Matematik

Vektor opgaver

10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Nu prøver jeg igen.

1. vektor OP(1+t,t). Vektor v = (1,2)
Bestemt tallet t, således at projektionen af OP på v er 2v?
Hovrdan gør jeg det? Altså jeg skal have isoleret t, men hvordan får jeg gjort det?

2. I et koordinatsystem er et parallelogram ABCD bestemt ved vektor AB = [3,9], AD=[4,2] og punktet D(8,5)

Bestemt arealet af parallelogrammet:

Bestem gradtallet for hver af vinklerne i parallelogrammet:

På diagonalen AC ligger et punkt E, således at
|AE|=3/5|AC|
Bestemt koordinatsættet til E

Ved godt hvilke formler jeg skal bruge til at finde vinklerne og arealet.
Men hvordan finder jeg ud af hvordan parallelogrammet ser ud?
Den sidste ser også svær ud, så den kunne jeg nok også godt bruge hjælp til :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. april 2005 af Samuel (Slettet)

Ad 1: Ligningen for projektionen af vektor a på vektor b:

a(b)=((a*b)/(|b|^2))*b (1).

Da projektionen af OP på V skal være 2V, må første faktor på højresiden af (1) være lig 2. t findes dermed af ligningen:

(OP*V)/(|v|^2)=2.

Svar #2
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Ja, det kan jeg godt se. Så skal jeg isolere (1*1+t + 2*t)/(5)=2. Hvordan gør jeg her. Er lidt i tvivl om 1+t er et led, eller 1 er en faktor og så +t er et led. Skulle gerne give t=3.

Svar #3
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Jeg har fx også denne ligning |(-t)*(2-3*t)+(1+t)*(4-t)|=0, hvordan ville man løse den, hvis man ikke skulle bruge computer?

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Én ting ad gangen. Følger du Samuels instruks i #1, ser du, at

ligningen

(OP*v)/|v|^2 = 2

er ensbetydende med

OP*v = 2|v|^2 = 2(1^2 + 2^2) = 10

Så vi skal løse ligningen

(1+t, t)*(1,2) = 10

Gør du det korrekt, får du t = 3 som eneste løsning.

//Singularity

Svar #5
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Det er jo egentlig det samme som i #2. Fik også t=3 på computer, men var egentlig lidt intresseret i, hvordan man gør det i hovdet.
Derfor har jeg også skrevet #3, da det også handler om at isolere :)

Svar #6
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Hmm kan egentlig også være ligemeget. Jeg forstår ihvertfald opgaven.

2. Skal man bruge punkt til linie formlen i denne? Og kan stadig ikke se, hvordan de parallelogram, skal tegnes, da jeg jo kun får afstandene til de her vektor, men ikke i hvilke punkter de skal ende.

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Indlæg #4 lægger da i høj grad op til, at man skal isolere t i hovedet;

(1+t, t)*(1,2) = 1 + t + 2t = 3t + 1 = 10 <=> t = 3

#6: Hvis det letter forståelsen, hvorledes parallelogrammet ser ud, så beregn koordinaterne til A,B og C af indskudsreglen for vektorer i planen.

Eksempelvis fås

OA = OD + DA = OD - AD = (8,5)-(4,2) = (4,3)

ergo A = (4,3).

Tilsvarende er

OB = OA + AB
OC = OD + DC = OD + AB

(DC = AB eftersom ABCD er et parallelogram).

//Singularity

Svar #8
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Ahh ja, selvfølglig. Tak! Kan dog ikke se, hvordan du kan se, at du ikke skal bruge de andre vektore.
Forresten fik jeg E til (8,2;9,6)

Men hvad med denne opgave:

To vektorer a og b er bestemt ved a=(3,4) og b=(cos(t), sin(t)), t=[0;2pi[

Et punkt P er bestemt ved
OP=a+2b

Bestemt tallet t, således at afstanden fra punktet P til linjen med ligningen y = 1/2x + 6

Hvordan skal den løses? Skal jeg lave en funktion, hvor jeg bruger punkt til linie formel? Hints ville være dejligt =)

Svar #9
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Bumper lige i håb om nogle kan hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#8: Det er korrekt, at

E = (8.2,9.6)

Hvad den anden opgave angår, så mangler du vist at skrive, at afstanden fra P til linien

n: y = 1/2*x + 6

skal være minimal.

Nuvel, observer først, at

OP = a + 2b = (3,4) + 2*(cos(t),sin(t))

er parametriseringen for en cirkel med centrum i C(3,4) og radius 2. Når t gennemløber [0;2pi[ vil P således bevæge sig rundt på cirkelperiferien.

Denne opgave kan løses forbavsende let med vektorer. Omtalte afstand minimeres/maksimeres netop, når radiusvektor CP er ortogonal på en retningsvektor u for linien (hvorfor?)

Bestem t herudfra.

//Singularity

Svar #11
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Ja undskyld, den skal være minimal som du siger.
Hmm synes ikke det hjalp mig :/. Vi er lige kommet til parameterfremstilling.

Men er det så (3,4)+2*(cos(t),sin(t)) * (-3,4) = 0 og så isolere t?

Ved ikke om det gav mening eller om det overhovdet var tæt på :)

Men er retningsvektoren ikke (-3,4)?

Svar #12
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Jeg ved godt hvorfor den skal vøære vinkelret. Da vi har en ret linie og en cirkel ved siden af, vil det tætteste punkt på cirklen være det der ligger vinkelret linien. Også hvis cirklen ikke ligger på linien. Ved ikke om det var en orndelig forklaring, men forstår det selv :)
Men ved stadig ikke hvordan beregningen er.

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Det er skam korrekt.

En normalvektor for linien

n: y = 1/2*x + 6

ses at være (-1,2). En retningsvektor u for n er således

u = (2,1)

Ortogonalitet af u og CP (radiusvektor) er ensbetydende med, at

u*CP = 4cos(t) + 2sin(t) = 0

Bestem den værdi af t E [0;2pi[, som minimerer afstanden dist(P,n).

Naturligvis kan man alternativt benytte punkt-linie afstandsformlen, som du var inde på tidligere, men det er lidt mere besværligt.

//Singularity

Svar #14
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Først og fremmest hvorfor er normalvektoren (-1,2)? og burde retningsvektoren så ikke hedde (-2,-1)?

Er CP det samme som OP?

Og hvordan isolerer man t i "4cos(t) + 2sin(t) = 0"?

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Betragt ligningen for linien

n: y = 1/2*x + 6

som tydeligvis er ensbetydende med

n: 2y - x - 12 = 0

Heraf ses, at en normalvektor for n er

(-1,2) [betragt koefficienterne til x og y]

Jo, tværvektoren (-2,-1) er skam en retningsvektor, men en retningsvektor u for n skal blot opfylde

v*(-1,2) = 0

så enhver vektor på formen s*(-2,-1), s E R\\{0} er en retningsvektor for n. Specielt er u = (2,1), s = -1, en sådan.

CP og OP er ingenlunde det samme. OP er stedvektoren for punktet P, som bevæger sig på cirkelperiferien, når t gennemløber [0;2pi[. Koordinaterne til OP er koordinaterne til P. CP er radiusvektor i cirklen.

Vink til isolering af t;

tan(t) = sin(t)/cos(t) (*)

Bemærk, at cos(t) = 0 ikke giver nogen løsning (hvorfor ikke?), og derfor er det helt uproblematisk at benytte (*).

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Hmm...

" u*(-1,2) = 0 "

skulle der stå [ikke v, men u].

//Singularity

Svar #17
10. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Hmm lige sidste post så. Har ikke helt styr på det endnu, men forstod godt #15.

OP = a + 2b = (3,4) + 2*(cos(t),sin(t)) En vektor for en ret linie, er en parameterfremstilling for en cirkel? Og hvordan kan du se det er det?
Hvordan kan du se at "2*(cos(t),sin(t))" er radiusvektor? :S

u*CP = 4cos(t) + 2sin(t) = 0, hvordan bliver det lavet om så jeg har det tan(t)sin(t)/cos(t). Synes ikke dit vink hjalp mig :)

Brugbart svar (0)

Svar #18
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: Nej, en vektor for en linie er ikke en parametrisering for en cirkel.

Bemærk, at (cos(t),sin(t)) er en parametrisering af enhedscirklen. Det skulle gerne være velkendt. For ethvert r > 0 er

r*(cos(t),sin(t)) = (r*cos(t),r*sin(t))

derfor en parametrisering af en cirkel med radius r og centrum (0,0). Hvis vi hertil adderer en konstant vektor (a,b), har det den effekt, at cirklen translateres (parallelforskydes) langs vektor (a,b) således, at det nye centrum er (a,b).

Derfor er

OP = a + 2b = (3,4) + 2*(cos(t),sin(t))

en parametrisering af en cirkel med centrum C(3,4) og radius r = 2. Vektoren

CP = 2*(cos(t),sin(t))

kaldes for radiusvektor (en vektor som udgår fra centrum C til et punkt P på cirkelperiferien).

Før vi benytter vinket i #15, så lad mig bemærke, at cos(t) = 0 ikke giver nogen løsning, thi så skulle

2*sin(t) = 0

hvoraf

sin(t) = 0 = cos(t)

hvilket er umuligt (jf. enhedscirklen).

Nu til vinket. Vi har;

u*CP = 4cos(t) + 2sin(t) = 0 <=>

4cos(t) = -2sin(t)

og division med cos(t) giver

4 = -2tan(t)

hvoraf

tan(t) = -2

Kan du selv herfra? Husk, at værdien af t, som minimerer dist(P,n), skal tilhøre intervallet [0;2pi[.

//Singularity

Svar #19
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Hmm, synes egentlig jeg forstod det. Men hvis man tager tan^-1(-2) = -1.107... som jo ikke er en del af intervallet.

Brugbart svar (0)

Svar #20
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#19: Nej ganske rigtigt, men så skal du med det samme tænke periodicitet (man skal ALTID være opmærksom på periodicitet, når man løser trigonometriske grundligninger i sinus, cosinus eller tangens).

Tangens har perioden pi;

tan(x + Z*pi) = tan(x) (*)

hvor Z er mængden af hele tal;

Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}

Notationen "x + Z*pi" betyder, at man til x adderer et vilkårligt helt multiplum af pi (fx -2pi, -pi, 0, 3pi osv.). Gyldigheden af (*) kan relativt let indses ud fra definitionen på tangens, hvis man bruger, at sinus og cosinus er 2pi-periodiske.

I #19 fandt du, at

t = arctan(-2) = -1.1071...

så mulige kandidater i intervallet [0;2pi[ er

t + pi = 2.0344... (1)
t + 2pi = 5.1760... (2)

og andre er der ikke. Hvilken af værdierne (1) og (2) er den søgte?

//Singularity

Forrige 1 2 Næste

Der er 36 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.