Side 2 - Vektor opgaver - Matematik

Svar #21
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Du har bare lyst til at gøre det lettere for mig ;)

Har ingen idè om hvilken af resultaterne det er. De begge er jo i intervallet. Har ærlig talt ikke hørt om periodicitet før.

Brugbart svar (0)

Svar #22
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#21: Du kan lige så godt lære noget, når vi nu alligevel er i gang :-)

Det er ikke vanskeligt at afgøre, at det må være (1), som er den værdi af variablen t, der modsvarer minimum for dist(P,n).

Indsæt hver af de to værdier i parameterfremstillingen

OP = (3,4) + 2*(cos(t),sin(t))

og konstatér, at værdien

t = arctan(-2) + pi

giver punktet på cirklen, som ligger nærmest linien n, mens

t = arctan(-2) + 2pi

giver det diametralt modsat liggende punkt, dvs. punktet på cirklen, som er fjernest fra n. Hvis du vil rydde enhver tvivl af vejen, beregner du punkt-linie afstanden fra hvert af de to omtalte punkter på cirklen til linien n.

//Singularity

Svar #23
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Ja, vil jeg så gøre. Fordi hvordan kan du se det er (1). Kan du gennemskue det i hovdet eller behøver man rent faktisk ikke at bruge punkt-linie formel?
Jeg er intresseret, da der jo altid må være 2 løsninger i sådanne opgaver, så vil være dejligt hvis man ikke skal bruge den formel hver gang =)

Svar #24
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Skal jeg egentlig bestemme èn af dem, når der kun bliver spurgt om t?

Brugbart svar (0)

Svar #25
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#23: Jeg gennemskuer det i hovedet, i første omgang;

Når vinkelargumentet t gennemløber [0;2pi[ vil punktet P bevæge sig mod uret rundt på cirkelperiferien - i lighed med et punkt på enhedscirklen. Eftersom linien n ligger over cirklen, må den laveste af de to t-værdier (1) derfor være den søgte.

Et mere formelt argument (som i #22) er, hvis ikke påkrævet, så i hvert fald ønskeligt. Din matematiklærer må vide, hvad der formelt kræves af argumentation i den type opgaver. Jeg skal ikke gøre mig klog derpå.

Der er ikke nødvendigvis altid to løsninger i den type opgaver. Bemærk, at det afhænger kritisk af, hvilket vinkelinterval man opererer indenfor.

Man bør dog altid være opmærksom på muligheden for flere løsninger til en trigonometrisk grundligning, som følge af de trigonometriske funktioners periodicitet.

//Singularity

Svar #26
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Kan jeg godt se =)

Mikro spørgsmål:
dist(p,l) = |ax_1+by_1+c|/(sqrt a^2 + b^2)

Ved godt jeg burde kunne det her, men er a= -1 og b=2, udfra n?
x_1 og y_1 er vel de koordinater jeg har fundet for de to værdier.

Svar #27
11. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Det er afleveret. Men idag fik vi at vide, at man bare kunne bruge længden for projektionen formel, til at finde afstanden.
Så er der en grund til at du ikke brugte den?

Synes ikke jeg har styr på parameterfremstilling. [x,y]=[5,3]*t[-7,8]
Den sidste faktor er retningsvektor. Men hvad siger den første faktor til højre for ligmed tegnet?

Brugbart svar (0)

Svar #28
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#27: Du bliver vist nødt til at være mere specifik. Projektionen af hvilken vektor på hvilken vektor?

Dette:

"[x,y]=[5,3]*t[-7,8]"

er ikke en parameterfremstilling for en ret linie. Du mener vist

[x,y] = [5,3] + t*[-7,8], t E R

Det første led [5,3] på højresiden er et fast punkt (eller stedvektoren for et fast punkt, om man vil) på linien, svarende til parameterværdien t = 0.

Formelt skrives en parametrisering af en rumlinie således

OPt = OPo + t*u, t E R (1)

hvor Po er et fast punkt på linien og u en konstant egentlig vektor (ikke-nulvektor). Til ethvert t E R er OPt stedvektoren for det punkt Pt, som fremkommer ved til stedvektoren OPo at addere vektoren t*u. Derved translateres (forskydes) punktet Po i retningen givet ved u. Når t gennemløber R, definerer (1) således en ret linie.

//Singularity

Svar #29
12. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Nu gennemgik han ikke opgaven, men kun en sætning som _jeg_ mener hang sammen med denne opgave. Så måske kan man ikke.
Det var vidst OP og retningsvektoren, men nu bliver jeg itvivl da de jo står vinkelret på hinanden. Lad os glemme det indtil videre og så kan jeg lige spørge næste gang om det, når vi får den tilbage.

Det andet forstår jeg meget bedre nu! Jeg går udfra at retningsvektoren, så kan gå "begge veje"?

Brugbart svar (0)

Svar #30
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#29: Det gør du bare, ja :-)

En retningsvektor u for linien er en konstant vektor, så den har fast retning. Eftersom t E R, vil punktet Po translateres i retningen givet ved u (for t>0) og modsat u (for t
//Singularity

Svar #31
12. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Jo, det var det jeg mente og kan godt se der er forskel :)

Svar #32
23. maj 2005 af Mads123 (Slettet)

Sry for at tage et gammelt emne op. Men hvordan gælder dette
15#"u*(-1,2) = 0

så enhver vektor på formen s*(-2,-1), s E R\\{0} er en retningsvektor for n. Specielt er u = (2,1), s = -1, en sådan."

Forstår ikke hvordan -1*(-1,2)=0?
Hvilke opgaver kan man få inde for dette emne? Skal man bare lave en liniens ligning om til parameterfremstilling?

Brugbart svar (0)

Svar #33
23. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#32: Jeg formoder, at du er med på, at en normalvektor for linjen

n: 2y - x - 12 = 0

er (-1,2) [betragt koefficienterne til x og y]

En retningsvektor u for n skal blot opfylde

u*(-1,2) = 0

thi en vilkårlig retningsvektor og en normalvektor for linjen er ortogonale.

Enhver vektor på formen

s(-2,-1), s E R\\{0}

er da en retningsvektor for n, idet

[s(-2,-1)]*(-1,2) =
(-2s,-s)*(-1,2) = 2s - 2s = 0

Specielt ses, at for s = -1 er
u = (2,1) en retningsvektor for linjen.

Er du med nu?

//Singularity

Svar #34
23. maj 2005 af Mads123 (Slettet)

Jep jeg er med. Men forstår ikke. Er det eneste jeg bør vide om parameterfremstilling, at skrive linien på en sådan form?

Brugbart svar (0)

Svar #35
23. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#34: Uden at være helt sikker på at have forstået dit spørgsmål, tror jeg, at du spørger til, hvad du skal kunne med en parametrisering af en linje i planen.

Så vidt jeg erindrer, skal du ved hjælp af en parameterfremstilling for en linje i planen kunne

- finde et eventuelt skæringspunkt mellem to linjer
- bestemme eventuelle skæringspunkter mellem linjen og en cirkel
- bestemme en ligning for linjen
- bestemme vinkler linjer imellem og mellem linjer og koordinatakserne

Denne liste er sandsynligvis ikke helt dækkende, så henvend dig til din lærer eller benyt UVMs hjemmeside, hvis du ønsker mere detaljerede oplysninger.

//Singularity

Svar #36
23. maj 2005 af Mads123 (Slettet)

Tak! Og undskyld for min dårlige formulering.

Punkt 1 og 3 er let, men hvordan 2? Tror ikke vi skal kunne 4.

Svarer det til opgaven jeg har skrevet i https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=102675

"En cirkel har radius 13 og centrum i punktet C(4,-3).
Cirklen har to tangenter, som er parallelle med vektoren v=(12,5)
Beregn koordinatsættet til hvert af røringspunkterne for de to tangenter."

?

Matematik

Side 2 - Vektor opgaver

Skriv et svar til: Vektor opgaver