Matematik
Underlig funktion 195/(1+4e^(0,04*t))
Jeg har et område med fugle i. Der er sat 39 fugle ud i år nul, og funktionen der beskriver antallet af fugle over tid, hedder:
N(t) = 195 / (1 + 4e^0,04t)
a) Beregn N(10), altså antallet af fugle efter 10 år. Det får jeg så til ~ 27,99 fugle... så fuglene dør altså langsomt?
b) Efter hvor mange år er der 100 fugle? Det kan jo ikke lade sig gøre, da funktionen er aftagende. Fuglene dør?
c) Tegn grafen: Skihop startende i 39 meters højde og sluttende med vandret asymptote med ligningen y=0
d) Hvor mange fugle kan der højest være i området? 39 i og med det er det højeste antal der er og nogensinde vil være. Men med al respekt er der ikke plads til fugle i området. Noget æder dem ????
Jeg har vedhæftet et screenshot af opgaveformuleringen fra bogen "Eksamensopgaver".
Svar #1
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
Funktionen skal være
N(t) = 195/(1+4·e-0,04t),
sammenlign med denne tråd
Svar #2
13. oktober 2010 af nubsedasse (Slettet)
Har kigget på det, men jeg kan slet ikke overskue den måde det er skrevet op i den tråd.
Har det her:
a) 52,97 (har regnet noget helt forkert på min grafregner, parenteser sikkert)
b)
100 = 195 / ( 1 + 4 · e-0,04t )
⇓
100 · ( 1 + 4· e-0,04t ) = 195
⇓
1 + 4· e-0,04t = 195 / 100
⇓
e-0,04t = ((195 / 100) - 1) / 4
⇓
e-0,04t = 0,2375
⇓
t · ln ( e-0,04 ) = ln ( 0,2375 )
⇓
t = ln ( 0,2375 ) / ( ln ( e-0,04 ))
⇓
t = 35,94
Lol, fandt lige ud af det.... troede man blot kunne erstatte e-0,04t med t · ln ( e-0,04), altså at det er nøjagtigt det samme, hvorfor det ikke burde være nødvendigt at bruge ln på begge sider af lighedstegnet, men resultatet taler for sig selv. Forstår det gør jeg godt nok ikke. Prøvede mig frem.
c) tegn grafen
sildeben med resultater for hvert 5. år i guess og at plotte
d) at differentiere funktionen ... og sætte f'=0 hvis jeg da stadig kan det :)
Svar #3
13. oktober 2010 af nubsedasse (Slettet)
d) Nu ved jeg fra grafregneren, at f går mod 195 for t -> oo (uendeligt)
Min simple logik siger mig, at nævneren går mod 1, eftersom 4 · e-0,04·t for t -> uendeligt går mod et uendeligt lille tal, eftersom et hvilket som helst positivt tal, opløftet i et uendeligt højt negativt tal, bliver til et uendeligt lille tal, altså 0, så facit er 195 / ( 1 + 0 )
Men argumentation holder jo ingen steder.
Svar #4
13. oktober 2010 af nubsedasse (Slettet)
reglen a-r = 1 / ar
bekræfter netop, at 1 / ar for r -> uendeligt, for positive tal, går mod 0
Og det er jo ligegyldigt med 4-tallet eftersom det ganges med noget der bliver uendeligt småt, bliver det det jo også, så løsningen må være, at der altså er en vandret asymptote med ligningen y=195, da facit er 195 / ( 1 + 4 · 0 )
differenskvotienten (delta y) / h ???
argumentationen?
Svar #5
13. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
b)
Løs ligningen N(t) = 100 :
195/(1+4·e-0,04t) = 100
e-0,04t = (195/100 - 1)/4
t = ln(95/400)/(-0,04) = 35,9397 år i overensstemmelse med #2
c) grafen er næsten lineær over de første 60 år og nærmer sig asymptotisk til linien y = 195 .
d) Funktionen er
N(t) = 195/(1+4·e-0,04t) , så
N'(t) = 195·4·0,04·e-0,04t / (1+4·e-0,04t)2 > 0 for alle t, så N(t) er monotont voksende og nærmer sig værdien
N(t) → 195 for t → ∝
Skriv et svar til: Underlig funktion 195/(1+4e^(0,04*t))
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.