Matematik
Vektor HJÆLP hurtigt!
hej jeg vil bare gerne vie om jeg har lavet følgende opgave rigtigt? fordi jeg har ikke facit:(
vi har en kugle K og en plan α og vi skal finde skæringpunktet mellem dem:
α: 2x+y-2z+7=0 og K=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9
først finder jeg kuglens afstand fra planen og det giver 2
afstanden er mindre end minus r=3, skærer planen kuglen i en cirkel. vi finder nu radius i skæringscirklen
hvis D er projektionen af C på α og E et vilkårligt punkt på cirklen, er trekantenCDE retvinklet, så |CD|^2+|DE|^2=|CE|^2 ⇔ 4+|CE|^2=9 ⇔ |DE|=√(5) dette er radius i skæringscirklen.
centrum D af skæringscirklen findes, som skæringspunkt mellem planen og en linie gennem centrum vinkelret på planen. linien har parameterfremstilling:
(x,y,z)=(2,-1,3)+t(2,-1,-2)
2(2+t2)+(1+t)-2(3-2t)+7=0 hvor t=-2/3
(x,y,z)=(2,-1,3)+(-2/3)*(2,-1,-2) = (2/3 , -1/3 , 13/3)
passer det ?
på forhånd tak :)
Svar #1
14. oktober 2010 af kieslich (Slettet)
et par slåfejl:
(x,y,z)=(2,-1,3)+t(2,1,-2)
2(2+t2)+(-1+t)-2(3-2t)+7=0 => t = -4/9
Svar #4
14. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
I #0 angives afstanden mellem kuglen K og planen α som værende 2. Da kuglen skærer planen, er denne afstand 0. Der menes nok afstanden d fra kuglens centrum til planen. Denne findes ved at indsætte centrums koordinater i den normerede liging for planen:
(2/3)x + (1/3)y -(2/3)z +(7/3) = 0 . Indsættes Kuglens centrum (2 ; -1 ; 3) heri fås
d = |(2/3)·2 -(1/3) -(2/3)·3 + (7/3)| = 4/3
Da kuglens radius er r = 3, er radius rs i skæringscirklen da bestemt af
d2 + rs2 = r2, dvs
rs = √(r2-d2) = √(32-(4/3)2) = (√65)/3
Centrum for skæringscirklen ligger på linien gennem kuglens centrum med retningsvektor svarende til planens normalvektor, og det ligger i afstanden rs fra kuglens centrum.
En normeret normalvektor til planen er vektoren n = (2/3 ; 1/3 ; -2/3) . Centrum for skæringscirklen ligger da i et af de to punkter med koordinaterne
(2 ; -1 ; 3) ±rsn = (2 ; -1 ; 3) ± (√65)/3·(2/3 ; 1/3 ; -2/3)
Svar #5
14. oktober 2010 af kieslich (Slettet)
#4
so far so good.
En normeret normalvektor til planen er vektoren n = (2/3 ; 1/3 ; -2/3) . Centrum for skæringscirklen ligger da i et af de to punkter med koordinaterne
(2 ; -1 ; 3) ±d*n = (2 ; -1 ; 3) ± 4/3·(2/3 ; 1/3 ; -2/3) =(10/9;-13/9;35/9) som ligger i planen. og som #0 og #1 også giver.
Svar #6
14. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#5
Ja, du har ret, det skal være d = 4/3 , hvor jeg havde rs i min lufttegning. Det gør jo kun tallene pænere.
Skriv et svar til: Vektor HJÆLP hurtigt!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.