Matematik
Konvergent, uendelige rækker
Hvordan kan man vise, at en uendelig række konvergerer på et defineret interval?
På forhånd tak
Svar #1
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
Menes der her en potensrække? Man kan bestemme rækkens konvergensradius.
Svar #2
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
Den uendelige række er:
f(x) = sin^n(x) hvor x tilhører intervallet I = ]-pi/2,pi/2[
Jeg ved ikke hvordan man laver summationstegn, men der er et summationstegn foran sin, hvor n = 0 og går mod uendelig.
Svar #5
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
det er i forbindelse med uendelige rækker og geometriske rækker
Svar #6
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#5
Rækken ser således ud:
f(x) = ∑n=0∝ sinn(x) = ∑n=0∝ (sin(x))n
Det er en potensrække i sin(x) . Se på, hvor rækken ∑n=0∝ yn er konvergent, og benyt så substitutionen sin(x) = y .
Svar #8
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#7
Rækken er konvergent for |y| < 1 . Oversæt nu det til x .
Svar #11
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
Men, jeg havde jo et interval, hvor der var en negativ værdi?
Svar #12
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#11
Et interval, i hvilket |sin(x)| < 1 er ]-π/2 ; π/2[ , idet
x ∈ ]-π/2 ; π/2[ ⇒ |sin(x)| < 1
Svar #13
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
Er det også argumentet for, at den er konvergent i det interval?
Svar #14
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
Ja, rækken i y er konvergent for |y| < 1, så rækken i x er konvergent for |sin(x)| < 1, dvs for |x| < π/2 . Der findes selvfølgelig også andre intervaller , på hvilke rækken i x er konvergent.
Svar #15
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
Men, vi har ikke lært noget om substitution, så ville det være en god ide at argumentere på den måde?
Svar #16
23. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)
#15
Der er ikke noget specielt at lære om substitution her. Det er blot et spørgsmål om at oversætte y til sin(x).
Svar #18
23. oktober 2010 af pura (Slettet)
Jeg skal også vise at f = 1/(1-sin(x)) er monotont voksende på hele intervalet I, hvor f: I -> R
Jeg har tænkt mig at differentiere ligningen. Og hvis f' er større eller lig med 0 for x større eller lig med 0, da er f monotont voksende på I. Er det rigtigt?