Euler's metode

Din bog må da sikkert have en beskrivelse af Euler's metode til numerisk løsning af en differentialligning. Ellers er den beskrevet her

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method 

Man antager, at løsningen varierer lineært mellem hvert skridt og er kontinuert. Har man taget et skridt, kan man beregne den afledede dy/dx og antage, at dy/dx er konstant i det næste skridt.

Mit spørgsmål var nu mere hvad jeg bliver bedt om i den opgave? og ja, jeg har en beskrivelse af Euler's metode i min bog.

#2

Du skal så bruge metoden til at beregne en tilnærmet værdi for løsningen til den pågældende differentialligning med den givne begyndelsesværdi.

y'₁ = x₁-x₁y₁             

y₁ = 0              x₁ = 1                  h =0,2

y₂ = y₁ + h (x₁ - x₁y₁) = 0 + 0,2 ( 1 - 1*0 ) = 0,2                        x₂ =  x₁ + h = 1,2

y₃ = y₂ + h (x₂ - x₂y₂) =   osv.                                                       x₃ = x₂ + h =1,4   

Fortsæt til x = 4

god fornøjelse, hilsen Bedstefar

Tak for hjælpen begge to :)

Har løst den og har fået y(1,4)= 0,5588, kan det passe :) ?

#5

Det er to step, der skal beregnes. Jeg finder y(1,4) = 0,392 .

Den eksakte værdi er y(1.4) = 1 - e^1/2·e^{-((1.4)^2)/2} = 0,381217

Hmm, jeg kan ikke finde ud af hvad jeg gør galt. Her er hvad jeg har skrevet:

y'= x-xy

y(1)=0, dvs. x₀= 1 og y₀= 0

h=0,2

x₁₌ x₀ + h= 1+0,2= 1,2

x₂= x₁ + h= 1,2+0,2= 1,4

x₃= x₂ + h= 1,4+0,2= 1,6

y₁= y₀ + hF(x_0, y₀)= 0+0,2(1-1*0)= 0,2

y₂= y₁ + hF(x₁, y₁) = 0,2+0,2(1,2-1,2*02)=0,384

y₃= y₂ + hF(x₂, y₂)= 0,384+0,2(1,4-1,4*0,384)= 0,5036

y₄= y₃ + hF(x₃, y₃)= 0,5036+0,2(1,6-1,6*0,5036)= 0,5588

Så y(1,4)= 0,5588

Hvad er det jeg har misforstået? :/
 

Benyt, at

y(x_i+1) = y(x_i+h) = y(x_i) + y'(x_i)·h = y(x_i) + x_i·(1-y(x_i))·h , så vi får

x₀ = 1, h = 0,2 , y(x₀) = y(1) = 0

y(x₁) = y(1,2) = y(x₀) + x₀·(1-y(x₀))·h = 0 + 1·(1-0)·0,2 = 0,2

y(x₂) = y(1,4) = y(x₁) + x₁·(1-y(x₁))·h = 0,2 + 1,2·(1-0,2)·0,2 = 0,2 + 1,2·0,8·0,2 = 0,2 + 0,192 = 0,392

Okay det kan godt være at jeg spørger dumt, men hvad er x_i?

#9

x_i er den i'te x-koordinat. Man starter i x₀ og arbejder sig fremad med skridtlængde h. I denne opgave er x₀ = 1 . I to skridt med skridtlængde h = 0,2 når man til den ønskede x-koordinat x=1,4 .

Okay skal lige være sikker på at jeg har forstået det rigtigt.. Hvis h nu var 0,1, har jeg regnet mig frem til at y(1,4)= 0,386 , kan det passe?

#11

Ja, så finder man i 4 skridt, at y(1,4) = 0,38675 .

Det bekræfter også, at man med et mindre h kommer tættere på den eksakte værdi.

Super, så har jeg vidst forstået det :D tak for hjælpen!