Keplers første lov

Det betyder, at kraften peger i radius-vektors retning, indad mod kraftens center (det fælles massemidtpunkt). Da det er den eneste kraft, der viker på planeten, peger accelerationen i samme retning, pga Newton II .

Vær omhyggelig med at skelne mellem radius vektor r, som er en vektor, og som opfylder Newton II, og dens størrelse r = |r| , som ikke nødvendigvis opfylder Newton II.

ok men han skriver jo at han vil starte med newtons 2. lov F =m*a

hvorfor begynder han på det her: (d^2r/dt^2)-rw^2= -G*(m*M)/r^2

jeg ved ikke om jeg har forstået det rigtigt, men min lærer vil have at jeg skal vise at man ud fra det her kommer frem til ellipsens ligning .

Det ser ud som om du er i polære koordinater, og at dit r er |r| . Hvad er helt præcist dit w ? Så vidt jeg kan se er w = dθ/dt ?

ja jeg har fået f=m*a= m*(d^2x/dt^2)

og gravitations kraften

og en cirkel hvor der står a= r*w^2 og w=2pi/T= dθ/dt

og L=m*r*v=m*r*rw=m*r^2*w

så står der krumbevægelse og en figur af krum bevægelse

så a=(d^2r/dt^2)-rw^2=-GM/r^2
 

så begynder en udledning : d^2r/dt^2=-GM/r^2+r(L/mr^2)^2
 

osv

jeg har selv udledt keplers 2. lov fra impulsmoment og ellipsens lingning.

men det her som jeg er igang med nu forstår jeg slet ikke.. kan du forklare sammenhængen i det hele?

Det er måske nemmest at starte med bevægelsesligningerne på vektorform. I tolegemeproblemet indser man, at bevægelsen foregår i en plan. Vi indfører et koordinatsystem med begyndelsespunkt i massemidtpunktet, og vi lader r være stedvektoren (radiusvektor) til planten med massen m. Det af radiusvektor overtstrøgne areal A ændres til tiden t med arealhastigheden

dA/dt = |r×dr/dt| , så at

2(dA/dt)·d²A/dt² = 2(r×d²r/dt²)•(r×dr/dt) = 0 , da r og d²r/dt² er parallelle. Altså er d²A/dt² = 0 og dermed dA/dt konstant (Kepler's 2. lov).

Nu indfører vi polære koordinater (r(t), θ(t)) i baneplanen:

r(t) = (r·cos(θ) , r·sin(θ)) , og får

r'(t) = (r'·cos(θ) -r·θ'·sin(θ) , r'·sin(θ) + r·θ'·cos(θ)) , og

r''(t) = (r''·cos(θ) -2·r'·θ'·sin(θ) -r'·θ''·sin(θ) -r·(θ')²·cos(θ) ,
            r''·sin(θ) +2r'·θ'·cos(θ) +r'·θ''·cos(θ) -r'·(θ')²·sin(θ))

Vi finder nu, at

dA/dt = |r×dr/dt| = |r²·θ'| = r²·θ' , så at

d²A/dt² = 2r·r'·θ' + r²·θ'' = r·(2r'·θ' + r·θ'') = 0 . Dette benytter vi i udtrykket for r''(t) til at reducere det til

r''(t) = ( (r'' -r·(θ')²)·cos(θ) , (r'' -r·(θ')²)·sin(θ)) .

Af Newton II sammen med Newton's gravitationslov har vi også

mr''(t) = -(GMm/r²)·r/r , så vi finder, ved at sammenholde dette med vektorudtrykkene for r(t) og r''(t), at

r'' - r·(θ')² = -GM/r²

hvilket er den ligning, du kører frem med.

Jeg tror ik jeg helt er med hvis du ser linket her under overskriften * Calculus Derivation of Kepler’s First Law, så er det det min lærer vil have mig til at udlede og forklare, ved hjælp af det der står i #4

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/DiscoveringGravity.htm

#6

Men vi er jo næsten der, hvor vi skal være.

Da dA/dt er konstant, er r²·θ' en konstant, som vi kan kalde c:

r²·θ' = c, så

θ' = c/r² , der indsat i den sidste ligning i #5 giver

r'' = c²/r³ -GM/r² ,

hvilket er den centrale ligning i Calculus stykket. Den integreres så ved at indføre u = 1/r, og ved at skifte variabel fra t til θ .

men alt det som du forklarer i #5 er vel før det i der kommer i calculus. undskyld er lidt forvirret, men det er noget jeg ikke har haft om før og skal bruge det i forbindelse med SRP. Altså det jeg skal er at forklare hvad der sker i calculus stykket.

#8

Det var jo svært at gætte, før du henviste til det stykke.

Starter vi nu med ligningen

r'' = c²/r³ -GM/r² ,

ser vi på funktionen u = 1/r og får r = 1/u , så

r' = -u^-2·u' og

r'' = 2u^-3·u' -u^-2·u''

Endvidere vil vi ændre variabel fra t til θ , og vi vil der benytte, at r²·θ' = c , dvs (dθ/dt)/u² = c . Vi får da

r' = dr/dt = -u^-2·u' = -u^-2·du/dt = -u^-2·(du/dθ)·(dθ/dt) = -u^-2·(du/dθ)·u²c = -c·(du/dθ) , og igen

r'' = d/dt(dr/dt) = d/dθ(dr/dt)·(dθ/dt) = cu²·(-c·d²u/dθ²) , så at

-c²u²·d²u/dθ² = c²u³ -GMu² , eller

d²u/dθ² = -u + GM/c² , der har løsningen

u(θ) = 1/r(θ) = GM/c² + k·cos(θ) ,

hvilket er ligningen for en ellipse i polære koordinater.

hvor kommer

 d^2r/dt^2r=-GM/r^2 + r * (L/mr^2)^2

 = -GM/r^2+ (L^2/m^2r^2)

ind i det her

#10

Det er jo ligningen

r'' = c²/r³ -GM/r²

hvor c = L/m ,

bortset fra at du har et par trykfejl i dine linier.

mange mange tak for din hjælp, jeg vil se på det her imorgen, kan du stadig svare hvis jeg får problemer?

min SRP starter på mandag og jeg skal have det her iorden før det begynder.

Jeg kigger herind jævnligt, også i morgen.

Ok så skriver jeg herinde under samme spørgesmål .. Mange tak

Velbekomme da. Fortsat god nat.

hej igen

jeg sidder og kigger ligningerne. i #7 skriver du r2·θ' = c og i #11 skriver du c = L/m , hva skal jeg sætte ind på c's plads så den ligner calculus ligningen lidt mere.

#16

Jeg kaldte den pågældende konstant for c, dit oplæg kalder den samme konstant for L/m . Hvis du vil have det til at ligne forlægget mest muligt, er det vel klart, at du skal bruge L/m for c.

jeg har nu skrevet det her ( oploadet en fil) hvordan forklarer jeg hvorfor han laver t om til θ

#18

I den tredje og fjerde ligning har du et underligt 1/r hængende:

d2r/dt2 /r = ....    (fed skrift brugt her for at markere, hvilket r, jeg taler om)

det skal ikke være der.

Du bruger notationen med ω , og så springer du pludselig til θ' uden at forklare sammenhængen.

Man ændrer variabel fra t til θ for at få tiden ud af billedet, og for at få en direkte sammenhæng mellem r og θ, hvorved det lettere fremgår, at der er tale om en ellipse. Variabelskiftet er tilladt, fordi θ' = dθ/dt ikke er nul og har konstant fortegn.

nåårh hov er kommet til at vedhæfte den forkerte fil.. altså jeg har kun lavet det ned til Fra udtrykket (u=1/r) får vi (r=1/u)  resten skulle ikke med i den fil .

nu har jeg sat de nye værdier for r og ω ind.. og endt med L=m*(1/u)*(dθ/dt)=(m/u)*(dθ/dt)

er det så nu jeg ændrer variablen t

eller skal det sættes ind i (d^2 r)/(dt^2 )=-(GM/r^2 ) +(L^2/(m*r^3 )) på L's plads