Eulers metode - approksimationen til f(x1)

Man finder den tilnærmede løsning i det næste punkt ved at approksimere funktionens graf med tangenten til funktionen i hele det næste skridt. Tænk på ligingen for tangenten til grafen for funktionen f(x) i punktet (x0, f(x0)) :

y = f'(x₀)·(x -x₀) + f(x₀)

Det er faktisk den formel, der bruges, hvor man sætter x - x₀ = h , skridtlængden, og y₀ = f(x₀) .

 #1

Ja der er jeg med.

ehm, hvordan hænger h sammen med ændringen i y-værdien for y1?

Altså, det man skal lægge til y0 er h*f ' (x0).

men h er jo også skridlængden - tilvæksten på x-aksen. hvordan kan den hænge sammen med den nye y-værdi?

og hvorfor er det lige f ' (x0) du skal gange h med? 

jeg kan sgu ikke helt se det.. Måske jeg er lidt dum :) heh, men bær over med mig

Mvh. Kenn.

Differentialkvotienten f'(x) måler jo ændringen det pågældende sted i funktionsværdien pr ændring i x.

f'(x) = df/dx . Derfor ganger vi med længden af det skridt, vi tager for at finde den samlede ændring i funktionsværdi over dette skridt, under den forudsætning, at funktionen følger tangenten til grafen. Vi lægger så den beregnede ændring i funktionsværdien til den værdi, vi havde, for at finde den nye værdi i næste skridt.

Prøv at lave en tegning af grafen for en funktion. Marker et x₀ og indtegn tangenten til grafen i dette punkt. Vi kender funktionsværdien i x₀, f(x₀) som vi også kalder y₀, og vi kan beregne tangentens hældning f'(x₀) i dette punkt ud fra den givne differentialligning. Så følger vi tangenten et lille stykke h til højre og siger så, at dette punkt på tangenten skal være vores nye bud på funktionsværdien i x₀+h . Hældningskoefficienten markerer, hvor langt vi skal gå op (regnet med fortegn), når vi tager et skridt af længden 1 til højre. Nu har vi taget et skidt af længden h til højre, så vi skal lægge f'(x₀)·h til den oprindelige funktionsværdi y₀ for at komme til det nye punkt på tangenten, der repræsenterer vores beregnede funktionsværdi i x₀+h . Det er ikke eksakt, men det er det bedste vi kan gøre med denne metode som redskab. I det næste punkt x₀+h = x₁ beregner vi en ny tangenthældning og bruger denne til et komme videre til x₂ = x₁+h .