Bevis for at separation af de variable virker

If f(x,y) is finite in an interval (a<=x<=v ; c<=y<=b) then the differential equation (d.e) y'=f(x,y) HAS A SOLUTION
(Lipschitx condition)

I suppose your d.e. suffices this condition, so there IS a solution,
the only thing is to find it.

Seperation of variables is one of many methods of solving a d.e.
If you do it right, then you find a function, and the proof is in eating the pudding: substitute the solution in the d.e. and you should find an identity for all x (in the definition interval)

Nu ved jeg ikke om jeg skal skrive på dansk eller engelsk. Men siden du har kunnet læse mit spørgsmål går jeg ud fra, at du sagtens kan forstå dansk. Jeg har kigget på nogle forskellige beviser for, hvorfor dette er et lovligt træk at gør, fx. http://www.nqrd.dk/Naturvidenskab/Sider/Matematik/Seperation%20af%20de%20variable.pdf

Men som jeg også har skrevet er jeg ikke helt sikker på om jeg forstår den helt.

Jeg har selv prøvet at kigge på følgende ligning:

y' = g(t)/h(y)

h(y)*y' = g(t)

ved at differentiere begge sider fås,

∫h(y(t))y'(t) dt = ∫ g(t) dt

Her tror jeg, at man skal kigge på regneregler for integration ved substitution. Men er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gør dette.

#2

På venstre side i den sidste linie genkender man differentialkvotienten af en sammensat funktion:

(H(y(t))' = H'(y(t))·y'(t) , hvilket vil sige, at vi kan reducere problemet til

∫ h(y) dy = ∫ g(t) dt , hvorved problemet er reduceret til at finde stamfunktioner til funktionerne g(t) og h(y) .

Jeg er ikke helt sikker på om jeg forstår denne del,

(H(y(t))' = H'(y(t))·y'(t)

Hvordan kan du gå fra ∫h(y(t))y'(t) dt til det du har skrevet?

Jeg kan godt foratå almindelig dansk, jeg kan også tale det, men jeg .
mangler det (danske) matematiske fagsprog

Så længe vi taler om adskillelse af variablen i en teoretisk ´kontekst, får du et teoretisk svar,

hvis du giver mig den aktuele differentialligning, kan vi snakke om, hvordan den kan løses.
Så lønge jeg ikke ved hvordan din funtioner h(y) and g(t) ser ud, kan jeg ikke sige hvordan ligningen skal løses.  

#4

Fordi

∫ h(y) dy med substitutionen y = y(t) , dy = y'(t) dt bliver til

∫ h(y(t))·y'(t) dt

ok. tusind tak for hjælpen ;)

Du skriver
Normalt giver det jo ikke mening, når man har ligningen dy/dx = h(x)*g(y) bare at omskrive den til 1/g(y) * dy = h(x)*dx.

Du har ganske ret - det giver ikke mening normalt og heller ikke her.
dx og dy er koblet til integraltegnet (eller hinanden), så de kan ikke optræde for sig selv.
Men der er heller ingen grund til, de skal gøre det. Se evt. vedhæftede.