Beregning af en ballon vha funktioner

Man ved, hvorledes ballonens rumfang V ændres: dV/dt = 1848 cm³/sek .

Benyt formlen for kuglens rumfang V = (4π/3)·r³ til at beregne dr/dt . Benyt dernæst udtrykket for kuglens overfladeareal

A = 4π·r² til at beregne dA/dt

Jeg er ikke helt sikker på, om jeg forstår det korrekt... (Ret mig, hvis jeg misforstår)

Hvis rumfanget, V, af en kugle med radius r, er givet ved V = (4π/3)·r³

         "Man ved, hvorledes ballonens rumfang V ændres: dV/dt = 1848 cm³/sek ."

Er det så radius, der afhænger af t (tiden)? Altså, V = (4π/3)·(r(t))³ ?

dV/dt   =   4π·(r(t))² (d(r(t)/dt)   =   1848 cm³/sek

Efter at have isoleret r til formlen af kuglens rumfang, hvorefter der skal differentieres, (og at V afhænger af t).

V = (4π/3)·r³   <=>  r = 0.6235·V^1/3  <=>  r = 0.6235·(V(t))^1/3

dr/dt = [0.206783 d(V(t))/dt] / (V(t))^2/3  ... Jeg ved ikke helt hvad jeg skal gøre.

#2

Både V og r afhænger af tiden, og V afhænger af r.

V = (4π/3)·r³ ⇒dV/dt = 4π·r²·dr/dt, så dr/dt = (dV/dt)/(4πr²) = (dV/dt) / A .

Hvis man også kender V eller r eller A, kan man så beregne dr/dt .

Tilsvarende fås

A = 4πr² ⇒ dA/dt = 8π·r·dr/dt .

#3

Jeg gjorde det, som du sagde "Både V og r afhænger af tiden" - og kan faktisk ikke komme videre for at finde ud af, hvor hurtigt ballonradius stiger..

Vedhæftet fil.

#4

Man ved, at dV/dt = 1848cm³/sek er konstant. Heraf følger, at V(t) = (1848cm³/sek)·t , hvor t = 0 til det tidspunkt, hvor oppustningen starter.

Nu er dr/dt = (dV/dt)/(4πr²) , og da V = (4π/3)r³ , er r = (3V/(4π))^1/3 , og dermed r^-2 = (4π/3)^2/3·V^-2/3 .

Dette kan kombineres til et udtryk for dr/dt .

#5

Tak. Jeg har nu styr på, hvordan det skal udregnes :)