To flys bevægelse. Hvornår lander det ene?

a) Flyet landet til det tidspunkt t₁, hvor 2.-koordinaten i r(t₁) er lig med 0.

b) Farten for det røde fly er |r'(t)|

c) Skæringspunktet findes ved at løse ligningen r(t) = b(s) og opsøge den løsning, der ikke giver 0-vektoren .

Mange tak for svaret, Torben. Det fik mig i gang :)

Bare et hurtigt spørgsmål: I opg a, hvorfor skal jeg gøre brug af 2.-koordinaten og ikke den første

#3

Fordi flyet lander, når dets højde (y-koordinaten) er lig med 0.

Nåår jo. Det er jo fordi det er vektorfunktion, så er x = -204t+17 og y=432t^2-72t+3

#4

I spørgsmål b) fås: r'(0,08) = (-204;-2,88) (vektor)

Hvis det skal formuleres med ord. Hvad fortæller det så?

I spørgsmål c) fås der for x-koordinaterne t₁ = 0,0547 og for y-koodinaterne t₂ = 0,0531 og t₃ = 0,1934. Hvad gør man så her? Forstår ikke, hvad du mener med at "opsøge den løsning, der ikke giver 0-vektoren".

Andre, der kan svare på spørgsmålene i #6?

#6

I spm b) skal man bestemme |r'(t)| , dvs længden af hastighedsvektoren r'(t) , hvilket er farten.

I spm c) skal man løse ligningen r(s) = b(t) . Den ene løsning er r(t) = b(s) = 0 som jo ikke er interessant for spørgsmålet. Man skal derfor bestemme den løsning, der ikke er nulvektoren. Hvis de to tidspunkter s og t er forskellige, vil de to fly være i P til forskellige tidspunkter, og de vil derfor ikke kollidere.

#8

Hvis jeg har tastet korrekt, så giver b) 204,02 km/h.

Jeg er ikke dog ikke helt med på c) endnu. Jeg har i #6 bestemt 3 forskellige tidspunkter, hvoraf det ene stammer fra x-koordinaterne og de to sidste stammer fra y-koordinaterne. Det er måske ikke det man skal gøre som det første?

#9

Man skal løse ligningen r(t) = b(s) ≠ 0 . Man finder her en værdi for t og en værdi for s. Det lyder som om du løser ligningerne

x_r(t) = x_b(t)  og y_r(t) = y_b(t) ,

men det har ikke noget med den stillede opgave at gøre. Man skal finde koordinaterne til det punkt P (forskelligt fra O), hvor de to flys banekurver skærer hinanden. De to banekurver har forskellige tidsparametre i denne sammenhæng.

#10

Hvordan løser man det i hånden? Kan slet ikke gennemskue fremgangsmåden. Bliver man også nødt til at erstatte tidsparameteren for b med s også?

#11

Man skal løse ligningssystemet r(t) = b(s) , som det er blevet anført flere gange ovenfor. Med definitionerne i opgaven bliver det

x:   -204t + 17 = 70s + 2

y:   432t² -72t +3 = 140s²

Udtryk t ved s i den øverste ligning og løs den resulterende 2.-gradsligning i s. Parameteren t angiver det tidspunkt, hvor det røde fly er i punktet P, og parameteren s angiver det tidspunkt, hvor det blå fly er i punktet P.

#12

Det giver værdierne:

t₁ = 0,7722 som giver r(t) = (-140,529;205)

s₁ = -0,0107 som giver b(s) = (1,251;0,016)

ELLER

t₂ = 0,0587 som giver r(t) = (5,0252;0,2621)

s₂ = 0,0434 som giver b(s) = (5,038;0,2637)

Det første resultat med t₁ giver ihvertfald ingen mening med en negativ x-værdi. Kan t₁ og s₁ forkastes, fordi t₁ er ugyldig??

De to sidste resultater viser, at der ikke sker kollision, men der var da ikke noget med en nulvektor her, som du nævnte tidligere?

#13

Nej, nulvektoren er ikke en løsning, men ser man på grafen i opgaven, ser det jo ud til, at nulvektoren er næsten en løsning, og man ser, at den ikke er brugbar (hvis den er en løsning). Bemærkningen var skrevet uden at jeg havde løst opgaven i detaljer.

i dine løsninger ser det ikke ud til, at r(t) = b(s) , så hvordan kan du påstå, at det er løsninger?

#14

Jeg har ikke brugt de eksakte værdier af t₂ og s₂, men det viser sig, at kun disse tidsparametre opfylder betingelsen r(t) = b(s).

Edit: Hvordan kan det egentlig være, at de to øvrige tidsparametre ikke opfylder betingelsen, når man fra start sætter udtrykkene lig hinanden?

#13

Jeg finder som den brugbare løsning

t = 0,058653 og s = 0,043354

med r(t) = (5,0348; 0,2631) og b(s) = (5,0348; 0,2631) , og da s ≠ t, sker der ingen kollision.

Du må have regnet forkert med den anden løsning. For den ikke-brugbare løsning finder jeg

t = 0,077216 og s = -0,01075 med r(t) = b(s) = (1,2478;0,01616)

#16

Jeg har fundet fejlen, tak.

Spørgsmålet er så, hvad koordinaten for P er. Er det med de to første tidsparametre (t₁ = 0,058653 og

s₁ = 0,043354), eller de to sidste tidsparametre (t₂ og s₂)?

Ud fra grafen kan det let ses, at det er med de to første parametre. Er der andre muligheder end dette?

#16

Det beregnes jo for den løsning, der brugbar, dvs for hvilken s,t ∈ [0;t₁] . I #16 har jeg angivet, hvad der er den brugbare løsning.

#18

Tak.