Matematik
Vis at y_n ≤ ln(2) ≤ x_n for alle n.
Jeg håber at nogen kan hjælpe med opgave b) i den vedhæftede fil. :-)
Man skal vise at yn ≤ ln(2) ≤ xn for alle n.
Svar #1
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
Man har så
x1 = 1 , og
xn+1 = xn - 1/(2n·(2n+1)) ,
så
xn+1 ≥ 1 - 1/(2·3) - 1/(4·5) - 1/(6·7) - ... = ∑∞k=1 (-1)k+1/k = ln(2) .
Tilsvarende er
y1 = 1/2, og
yn+1 = yn + 1/((2n+1)·(2n+2)) , så
yn ≤ 1/2 + 1/(3·4) + 1/(5·6) + (1/(7·8) + ... = ∑∞k=1 (-1)k+1/k = ln(2) .
Svar #2
15. maj 2014 af ma1908 (Slettet)
Svar #3
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man ser, at {xn} er en strengt aftagende følge, og at {yn} er en strengt voksende følge. Der gælder, at
xn - yn = 1/(2n) → 0 for n → ∞ ,
og da 0 ≤ yn ≤ ln(2) ≤ xn for alle n , følger det, at både {xn} og {yn} konvergerer mod ln(2) .
Svar #5
15. maj 2014 af Tilj (Slettet)
Tak Andersen11 !
Er det meningen, at der skal stå xn+1 ≥ ... i #1 linje 5. Eller skal der stå xn ≥ .. ?
Skriv et svar til: Vis at y_n ≤ ln(2) ≤ x_n for alle n.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.