Matematik

areal af keglesub vha. integralregning

15. maj 2014 af inddd (Slettet) - Niveau: B-niveau

Er der nogle, som ved hvordan man finder overfladearealet af en keglestub vha. integralregning? :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. maj 2014 af hesch (Slettet)

For nu at starte med bundfladen, der er en cirkel:

Man deler den op i uendeligt smalle cirkelringe, med bredden dr . Omkredsen = 2πr, og arealet af en cirkelring er derfor: dA = 2πr·dr . At integrere fra 0 til R:

A = ₀∫^R 2πr·dr = πR² ( det vidste vi egentlig godt ).

Find nu arealet af den skrå sideflade på samme vis, ved at skære keglestubben i tynde skiver, og integrer arealet af disse tynde skivers kanter. ( Det er vist lettest her at anvende lidt Pythagoras. )

Summèr til sidst arealerne af alle flader.

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. maj 2014 af mathon

Forestil dig stubfladen klippet op langs sidelinjen s og bredt ud til en flade.

Det korteste krumme stykke har længden 2 · π ·r

Det længste krumme stykke har længden 2 · π ·R

Fladen deles nu op i n lige store stykker
                                                              Δa på det korteste krumme stykke
                                                              Δb på det længste krumme stykke
Inddelingslinjerne har tilnærmelsesvis længden s, hvor
s er keglestubbens sidelængde
                                                   $s=\sqrt{\left ( R-r \right )^2+h^2}$       hvor h er keglestubbens højde

arealet
$\! \! \! \! \! \! \! A_{krum}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2}\cdot s\cdot \left ( \Delta a_i+\Delta b_i \right )=\frac{1}{2}\cdot s\cdot\left (\sum_{0}^{n}a_i + \sum_{1}^{n}b_i\right )=\frac{1}{2}\cdot s\cdot\left ( 2\pi r+2\pi R \right )=$

$A_{krum}=s\cdot \pi \cdot \left ( r+R \right )=\sqrt{\left ( R-r \right )^2+h^2}\cdot \pi \cdot \left ( r+R \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. maj 2014 af hesch (Slettet)

#2: Det skal beregnes vha. integralregning, men der ses ikke et eneste integraltegn i #2.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. maj 2014 af mathon

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! A_{krum}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2}\cdot s\cdot \left ( \Delta a_i+\Delta b_i \right )=\frac{1}{2}\cdot s\cdot\left (\sum_{0}^{n}a_i + \sum_{1}^{n}b_i\right )=\frac{1}{2}\cdot s\cdot \sum_{0}^{n}a_i+\frac{1}{2}\cdot s\cdot\sum_{0}^{n}b_i$
som for n → ∞
har grænseværdien

$\! \! \! \! \! \! \! \! \frac{1}{2}\cdot s\cdot \int_{0}^{n}da+\frac{1}{2}\cdot s\cdot \int_{0}^{n}db=\frac{1}{2}\cdot s\cdot \left ( 2\pi r \right )+\frac{1}{2}\cdot s\cdot \left ( 2\pi R \right )=s\pi r+s\pi R=s\pi \left ( r+R \right )=$

$\pi \cdot \sqrt{h^2+\left ( R-r\right )^2 }\cdot \left ( R+r \right )$

Skriv et svar til: areal af keglesub vha. integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.