Alternerende harmonisk række..

Prøv at skriv de første afsnitsfølger op. Find dernæst s_n+1-s_n for de forskellige afsnitsfølger

Jeg har ikke haft så meget om induktionsbeviser, men jeg har forsøgt med:

Jeg vil vise at for alle ulige k gælder:

    (a)

Jeg vil starte med at vise at det gælder for alle k = 1:

Det ses klart at den sidste sum giver 1, men jeg er lidt i tvivl om den første også gør, da den går til uendelig (den skal jo helst give 1) 

Derefter vil jeg vise at (a) holder for k+1, men her kludrer jeg også i det. 

#2

Det du skriver, giver ikke ret meget mening.

Man skal vise, at afsnitsfølgen {s_2n-1} for den harmoniske række er lig med følgen {x_n}, og at afsnitsfølgen {s_2n} er lig med følgen {y_n}.

Det er noget uforståeligt, hvad du skriver ovenfor med at vise, at noget gælder for alle k = 1. Det giver ingen mening. Rækken, du skriver på venstre side af det sidste lighedstegn, er divergent. k er det indeks, der summeres over.

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1479870

Ja, jeg tror jeg har misforstået det helt. Jeg kan ikke helt se det med afsnitsfølgen for mig.  Hvordan skrives afsnitsfølgen til den alternerende harmoniske række? Udskifter man k med n og indsætter derefter et n så summen er ulige? 

s1   1

s2  1-½

s3   1-½ +1/3

#4

Igen: k er det indeks, der summeres over. Afsnitsfølgen s_2n-1 er summen af de første 2n-1 led i rækken, dvs

Tak! 

Så skal man vel benytte induktion til at bevise at :

s_2n-1 = x_n    og   s_2n = y_n

Gøres dette ikke ved at tjekke om ovenstående holder for n = 1 og derefter n = a+1  ?

Man gør det ved at antage at den holder for n og dernæst vise at dette medfører at påstanden også holder for n+1

#7

Jo, det kan man da.

Man har jo, at s₁ = 1 = x₁ , og at

        s_2n+1 = s_2n-1 - 1/(2n(2n+1)) = s_2n-1 -(1/(2n) - 1/(2n+1)) ,

så s_2n-1 har samme rekursionsformel som x_n .

Tak! Skal jeg antage for den første, at den holder for alle n eller for alle ulige n? 

- og hvis man skal antage, at det gælder for alle ulige n, så skal man selvfølgelig i den anden antage, at det gælder for alle lige n. Vil det sige, at man i den med lige n, skal vise, at den holder for n = 2 og n+1?

Bare glem det, det hele giver mening nu. Det skal være for alle n :)

Når man skal vise, at s_2n = y_n  holder for n+1, så får man:

s_2n+2 = y_n+1

Så vil jeg omskrive s_2n+2:

s_2n+2 = s_2n - ?

Jeg sidder og fumler med, hvad jeg skal trække fra, jeg kan ikke få det til at passe. 

Jeg tror det gælder om at få skrevet s_2n+2 om så det ligner s_2n + 1/((2n+1)(2n+2)), derfra benytte antagelsen om at s_2n=y_n, hvorved du kan lave omskrivningen fra s_2n+2 til y_n+1 og bevise induktionsskridtet, princippet om simpel induktion medfører så at s_2n=y_n er sandt for alle n? Ret mig hvis jeg tager fejl :).

Nogen der har et hint til hvorledes opgave "e" besvares?

Det nemmeste er nok at bruge resultatet fra spørgsmål a

#14 du skal nok lige komme med opgavebeskrivelsen til opgave e) :-) 

Jeg kan ikke komme videre end s_2n+2 = s_2n .. Jeg kan ikke finde det led som skal lægges til , jeg har kigget på 1/((2n+1)(2n+2)) og kan ikke få det til at passe, jeg har også kigget på resultatet fra a), som jeg ikke lige kan gennemskue, hvordan skal benyttes. 

Gør som i #7  Udregn s_2n+2 -s_2n

Brug a) til at udregne  y_n+1-y_n    og vis dermed at de er lige store

Er nogen, der kan besvare spørgsmål (e) som er:

Bevis ved hjælp af ovenstående resultater at den alternerende harmoniske række er konvergent med summen

#19

For den harmoniske række ∑ a_n gælder det, at {|a_n|} er en dalende følge af positive reelle tal, der konvergerer mod 0. Den harmoniske række er derfor konvergent, og da den lige afsnitsfølge er lig med følgen {y_n}, og den ulige afsnitsfølge er lig med {x_n}, og da disse følger hver er konvergente med grænseværdi ln(2), følger det, at den harmoniske række har summen ln(2) .