Matematik

Matematik: Hvordan kommer jeg derfra til hertil? Logistisk vækst

08. juni 2014 af Hijsa - Niveau: A-niveau

Jeg er i gang med at bevise at den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning ER en løsning.

Jeg er nået til højre side af differentialigningen men kan ikke se hvordan jeg kommer fra det ene punkt til det andet:

$\frac{k\cdot M^2\cdot (1+c\cdot e^-^k^M^x)-k\cdot M^2}{(1+c\cdot e^-^k^M^x)^2}$
⇔

$\frac{k\cdot M^2\cdot (c\cdot e^-^k^M^x)}{(1+c\cdot e^-^M^x)^2}$

Det jeg ikke forstår er hvorfor 1 tallet forsvinder? Håber nogen kan hjælpe, det er til eksamen :/

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. juni 2014 af mathon

i tælleren sættes den fælles faktor $k\cdot M^2$ udenfor en parentes

$k\cdot M^2\cdot \left ( 1+c\cdot e^{-kMx} \right -1)=k\cdot M^2\cdot c\cdot e^{-kMx}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. juni 2014 af mathon

$y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-kMx}}$
hvoraf
$1+C\cdot e^{-kMx}y=\frac{M}{y}$

${\color{Red} I\! \! :}\; \; \; C\cdot e^{-kMx}y=\frac{M-y}{y}$

   og
                         $y{\, }'=\frac{-M}{\left (1+C\cdot e^{-kMx} \right )^2}\cdot C\cdot \left ( -kM \right )\cdot e^{-kMx}$

                         $y{\, }'=k\cdot \frac{M}{1+C\cdot e^{-kMx}}\cdot \frac{M}{1+C\cdot e^{-kMx}}\cdot C\cdot e^{-kMx}$

som ved brug af ${\color{Red} I\! \! :}$ giver

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. juni 2014 af mathon

$y{\, }'=k\cdot y\cdot y\cdot \frac{\left (M-y \right )}{y}=k\cdot y\cdot \left ( M-y \right )$

Svar #4
08. juni 2014 af Hijsa

Mange tak, forstår det bedre nu! :)

Skriv et svar til: Matematik: Hvordan kommer jeg derfra til hertil? Logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.