En cirkel har ligningen: (x-1)^2+(y+2)^2=25?

Hvad er koordinatsættet for de to punkter?

tangentligning i (4,2):
 
              (4-1)(x-1) + (2+2)(y+2) - 25 = 0

tangentligning i (4,-6):
 
              (4-1)(x-1) + (-6+2)(y+2) - 25 = 0

Hvilken formel bruger du til at finde tangentligningen for de 2 punkter?

Indsæt x = 4:

Tangentligningen eller linjens ligning er givet ved

I eksemplet vil det altså sige: (for første punkt: P(4, -6))

hvor a og b er koordinaterne for normalvektoren. Disse bestemmes:

Heraf følger altså at ligningen for linjen der går gennem punktet P bliver:

Dette gøres så også for det andet punkt Q(4, 2).

De to tangentligninger sættes lig hinanden, og der løses for x. Ved denne x-værdi er der et skæringspunkt mellem de to linjer. y-værdien kan let findes derefter.

Man kan også gå mere geometrisk frem. Cirklen har centrum i C(1;-2) og har radius r = 5 .

De to punkter (4;±y) på cirklen, der har x-koordinaten 4 definerer en korde i cirklen i afstanden (4-1) = 3 fra cirklens centrum. Skæringspunktet for de to tangenter til cirklen ligger på kordens midtnormal, der også går gennem cirklens centrum. Korden afskærer sammen med de to radier til tangenternes røringspunkter en ligebenet trekant, som kordens midtnormal deler i to retvinklede trekanter med kateterne 3 og 4 og hypotenusen 5 . Tangenterne danner sammen med radierne til røringspunkterne en firkant, som kordens midtnormal deler i to kongruente retvinklede trekanter, der er ensvinklede med den retvinklede (3,4,5)-trekant, og hvis hypotenuse er lig med afstanden fra cirklens centrum til tangenternes skæringspunkt. Da højden i en af disse større retvinklede trekanter er lig med 4, kan afstanden s fra cirklens centrum til tangenternes skæringspunkt findes af den kendte sætning, at højden på hypotenusen i en retvinklet trekant er mellemproportional mellem de stykker, hvori den deler hypotenusen, dvs.

        3 / 4 = 4 / (s - 3)

så

        s = 3 + (16/3) = 25/3 .

Da kordens midtnormal er parallel med koordinatsystemets x-akse og går gennem cirklens centrum C(1;-2), findes koordinatsættet for tangenternes skæringspunkt da til

        T(1 + s ; -2) = T(9 ¹/₃ ; -2) .

Det søgte areal i b) findes nu som arealet af 2 gange arealet af en retvinklet trekant med højden 4 og hypotenusen s = 25/3 , hvorfra der trækkes arealet af et cirkeludsnit (cirkelsektor) for en cirkel med radius r = 5 og korde k = 2·4 = 8 . Man har da

        A = 2·(1/2)·4·(25/3) - π·5²·2·Arcsin(8/(2·5))/(2·π)

            = 100/3 - 25·Arcsin(0,8)

             ≈ 10,15

#4
Hvilken formel bruger du til at finde tangentligningen for de 2 punkter?

for cirklen

                                          (x - a)·(x - a) + (y - b)·(y - b) = r²
er tangenten i (x_o,y_o)

                                          (x_o - a)·(x - a) + (y_o - b)·(y - b) = r²

i anvendelse

for cirklen

                                          (x - 1)·(x - 1) + (y + 2)·(y + 2) = 25
er tangenten i (4,2)

                                          (4 - 1)·(x - 1) + (2 + 2)·(y + 2) = 25

                                           3x + 4y = 20

er tangenten i (4,-6)

                                          (4 - 1)·(x - 1) + (-6 + 2)·(y + 2) = 25

                                           3x - 4y = 36

med tangentskæring
i
                                          

skæringsberegning:
                                           3x + 4y = 20
                                           3x - 4y = 36              som ved addition 
giver
                                           6x = 56
                                                               som indsat i   3x - 4y = 36
giver
                                           3· - 4y = 36

                                           28 - 36 = 4y
                                           7 - 9 = y
                                           y = -2

dvs tangentskæringspunktet
                                                 
                                     

eller for
                                differentieret mht x

som for
                   

giver
                                     

med tangentligningen
                                      

identisk med
                                      

.

som for
                   

giver
                                     

med tangentligningen
                                      

identisk med
                                      
                                      
                                      
               

Tegning af cirkel og tangenter vedlagt. Det bemærkes at en cirkel med formlen 

har centrum i (1, -2) og radius 5.

2) Arealet af det skraverede område kan findes som arealet af drage-firkanten minus arealet af cirkel-afsnittet ("lagkagestykket").

Firkanten har arealet |AD|·|CB| = 4·(25/3) = 100/3 = 33,33

Cirkelafsnittet har arealet: (arealet af cirklen)·(størrelsen af afsnittets vinkel i forhold til 360º) = (π·r²)·(2·α_rad/2π) = r²·α. tan(α) = 4/3 => α = 0,93. Dvs. areal af cirkelafsnit = 25·0,93 = 23,25

Areal af område = 33,33 - 23,25 = 10,08//

#13

α = 0,93 er kun en tilnærmet værdi, som ikke bør benyttes afrundet i mellemregningerne. En mere præcis værdi for arealet til 2 dec. er givet ovenfor i #8. Det bemærkes her, at Arcsin(8/10) = Arcsin(4/5) = Arctan(4/3) .