Matematik

Integration ved substitution?

27. september 2014 af Gandhara (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej allesammen!

Jeg kan starte med at vedhæfte opgaveformuleringen (vedhæftet). Jeg kan se at accelerationen ikke er konstant, men afhænger af farten, v. Derfor kan jeg udelukke alle de simple konstant-accelerationsformler.

Men jeg kan benytte mig af følgende formel til at beregne accelerationen, når accelerationen afhænger af farten:

$s=s_{0}+ \int_{v_{0}}^{v} \frac{v}{a(v)} dv$

Hvor:

s=400m

s₀=0m

v₀=0 m/s

v=84.72 m/s

a(v)=c₁-c₂*v²

Hvis jeg skal beregne konstanten c₁, står jeg med følgende integral:

$400=\int_{0}^{84.72} \frac{v}{c_{1}-c_{2}*v^{2}} dv$

Men problemet er at jeg ikke rigtig kan komme til at isolere c₁i hånden. Jeg har forsøgt mig med integration ved substitution, men jeg kommer frem til nogle virkelig kompliceret udtryk, som jeg er sikker på ikke er korrekte.

Kort sagt: hvordan finder jeg konstanten c₁ vha. integration ved substitution?

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Du behøver ikke at benytte U-substitution. Benyt, at (c1-c2) er en kostant. Dette kan du sætte uden for integralet. Nu har du v/v^2 = 1/v. 1/v integreret = ln(v) + C. Efter integration har du:

(ln(v) + C) * (c1-c2). Evaluer nu.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Herefter er c1 let at isolere. Er du enig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Sæt (c1-c2) uden for integralet og dermed 1/(c1-c2).

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er da ikke korrekt. Der står c₁ - c₂·v² i nævneren.

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Se #3.

Svar #6
27. september 2014 af Gandhara (Slettet)

Mener du:

$400=\int_{0}^{84.72} \frac{v}{c_{1}-c_{2}*v^{2}} dv$ $\rightarrow$ $400=\frac{1}{c_{1}-c_{2}} * \int_{0}^{84.72} \frac{v}{v^{2}} dv$

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Ja, det gør jeg.

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Smukt.

Svar #9
27. september 2014 af Gandhara (Slettet)

Men med den fremgangsmåde kommer jeg på en tidspunkt til at tage logaritmen til 0, idet den nedre integrand er lig med 0. Det kan jeg vist ikke gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du kan ikke bare sætte (c₁ - c₂) udenfor. Derimod har man

400m = (1/2) · ₀∫^84,72 d(v²) / (c₁ - c₂v²) = -(1/2) · [(1/c₂)·ln(c₁ - c₂·u)]^{82,72^2} ₀

= (1/2)·(1/c₂)·ln(c₁/(c₁-c₂·(82,72m/s)²)

så

1 - (c₂/c₁)·(82,72m/s)² = exp(-800m·c₂)

Svar #11
27. september 2014 af Gandhara (Slettet)

$400=\frac{1}{c_{1}-c_{2}} * (ln(84.72)-ln(0))$

Man kan vist ikke tage logaritmen til 0.

Svar #12
27. september 2014 af Gandhara (Slettet)

Det er mig noget uklart hvad du foretager her, Andersen.

1) Hvordan kommer du frem til 1/2*... udenfor integralet?

2) Hvor får du d(v²) fra?

3) Hvor kommer (1/c₂) fra?

4) Hvor får du den øvre integrand, 82.72², fra? Grundtallet var 84.72. Hvorfår er den opløftet i 2.?

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Jeg ved ikke rigtig, hvad jeg skal skrive. Er du sikker på, at den nedre integrationsgrænse = 0?

Brugbart svar (0)

Svar #14
28. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Indirekte foretages substitutionen u = v² , så v dv = (1/2) du = (1/2) d(v²) .Når v går fra 0 til 84,72 m/s , går u fra 0 til (84,72 m/s)² . De 82,72 er en tastefejl for 84,72 . Man har så et integral af formen

∫ du /(c₁ - c₂u) = (1/c₂) · ∫ du / ((c₁/c₂) - u) = -(1/c₂) · ln((c₁/c₂) - u) + k

Brugbart svar (0)

Svar #15
28. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Der må være fejl i det af dig opstillede integral. ln(0) er udefineret. Jeg løser på Maple, og får samme error. Eller også skal der være parentes om c2*v^2. Så giver det mening.

Brugbart svar (0)

Svar #16
28. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Du kan ikke bruge shafaifers fremgangsmåde.

Af #10 får man så

c₁ = c₂·(84,72m/s)² / (1 - exp(-800m·c₂) = 9,573 m/s² .

Brugbart svar (0)

Svar #17
28. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#15

Jeg har forklaret før, at der står a = c₁ - c₂·v² . Det kan kun forstås på én måde, og det er ikke som du forstår det.

Brugbart svar (0)

Svar #18
28. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Jeg får nu, efter at have omrokeret parentesen, det samme som Andersen 11.

Brugbart svar (0)

Svar #19
28. september 2014 af shafaifer (Slettet)

Jeg undskylder for #15.

Svar #20
28. september 2014 af Gandhara (Slettet)

#14
Men hvorfor er u=v^2? Det er vel c1-c2×v^2 som er den indre funktion i integralet?

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.