Mindste afstand

Jeg har differentieret kurven og sat dette lig 4/45. Dette giver en andengradsligning med løsning x=8.9375. Tilbage bliver en trekant hvor jeg kun kender een side og kan ikke lige se hvordan jeg finder en vinkel i denne trekant !?

De skærer ikke hinanden

Hvis der er givet graferne for de to funktioner f(x) og g(x) og man søger den mindste afstand mellem to punkter på de to grafer, skal man finde minimum for funktionen

        D(x₁,x₂) = (x₁ - x₂)² + (f(x₁) - g(x₂))²

dvs. man skal finde stationære punkter for funktionen D(x₁,x₂) . Man skal altså løse ligningssystemet

        ∂D/∂x₁ = 2·(x₁ - x₂) + 2·(f(x₁) - g(x₂)) · f '(x₁) = 0

        ∂D/∂x₂ = -2·(x₁ - x₂) - 2·(f(x₁) - g(x₂)) · g '(x₂) = 0

Her er f(x₁) den lineære funktion, mens g(x₂) er 3.-gradspolynomiet.

Hvis de to grafer ikke skærer hinanden, finder man som en konsekvens, at

         f '(x₁) = g '(x₂) .

Man skal altså løse ligningen

        3·0,0005·x² - 2·0,0333·x + 0,522 = 4/45

Jeg søger den vinkelrette afstand i det punkt på 3 gradspolinomiet - hvor denne differentieret har den samme hældning som linien 4/45

#9

Det er jo netop fremgangsmåden der er vist i #8.

2.-gradsligningen sidst i #8 giver så to mulige punkter på grafen for 3.-gradspolynomiet, og man kan så let beregne afstanden fra hvert af disse to punkter til den rette linie.

Løsningen er x = 8.9375. Dette giver for 3 gradspolinomiet en værdi på y = 30.362. For linien giver det y = 31.794. Disse to punkter ligger over hinanden og altså en afstand på 1.432. De 1.432 er hypotenusen i en retvinklet trekant. Jeg kender ikke andet i trekanten. Mangler den vinkelrette afstand til linien

#11

Afstanden fra et punkt P(x₀,y₀) til en linie med ligningen ax + by + c = 0 findes ved at benytte punkt-linie-afstandsformlen:

        d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) .

2.-gradsligningen sidst i #8 er en ligning til bestemmelse af x-koordinaterne for de punkter på grafen for g(x) (3.-gradspolynomiet), hvor grafen har en tangent parallel med den rette linie. De to løsninger er

        x = 36,48633   og     x = 7,913669       med tilhørende y-værdier
      g(x) = 27,00142        g(x) = 30,29329 .

For hvert af disse punkter beregner man afstanden d til linien med ligningen 4x -45y + 31·45 = 0 , dvs

       d = 7,21337     og      d = 1,404614

og man konkluderer, at den mindste afstand er   d = 1,404614 .

I aftandsformlen er a=4/45 b=1 c=31. Hvad er x0 og y0 ?

#13

(x₀,y₀) er et af de to punkter   (x , g(x)) , hvor x = 36,48633 eller x = 7,913669 .

I afstandsformlen er a = 4/45 , b = -1 og c = 31.

Når jeg løser 2 gradsligningen får jeg x = 8.9375. Hvordan fik du 7.913669 ?

#15

Det fik jeg ved at løse 2.-gradsligningen i #8.

Ups en regnefejl - her. Tiøren er faldet....Takker for hjælpen i det spørgsmål