Matematik

Størsteværdi for mængden A.

08. oktober 2014 af Niko83 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Til Alle.
Jeg har 3 øvelse som lyder sådan:

Vis at funktionen f har en størstværdi på mængden A.
a) f(x,y) = x/(1+x² +y²) A = {(x,y) ∈ R² |x² +y² ≤ 9}

b) f(x,y,z) =x² +xy + z³ A={(x,y,z) ∈ R³ |x| +|y| + |z| ≤ 1

c) f(x,y,x,u) = e^{-(x-u)^2} * (z² +y²) A= {(x,y,z,u) ∈ R⁴ | 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ u}

Vil nogen hjælpe med at løse dise øvelse???

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

De tre funktioner er kontinuerte funktioner på begrænsede, afsluttede mængder og har derfor et msksimum og et minimum.

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. oktober 2014 af Soeffi

a) Husker ikke helt formlen, men du skal forestille dig, at du lægger snit gennem grafen for funktionen parallelt med x-aksen. Til sidst undersøger du randen. (Lidt usikker på om, det kan udvides til funktioner af mere end 2 variable.)

Hvis du differentierer med hensyn til x (y holdes konstant) får du

$f_{x}(x,y)= \frac{(x^2+y^2+1)- 2x^2}{(x^2+y^2+1)^2}= \frac{(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}$

Den er nul for x^2 = y^2 + 1. Differentieres med hensyn til y fås

$f_{y}(x,y) = \frac{-2xy}{(y^2+x^2+1)^2}$

Heri indsættes x^2 = y^2 + 1

$f_{y}(y^2 + 1,y) = \frac{-2y\sqrt{ y^2 + 1}}{(y^2+ y^2 + 1+1)^2}= \frac{-2y\sqrt{ y^2 + 1}}{\sqrt{2}(\sqrt{y^2 + 1})^4} = \frac{-\sqrt{2}y}{(\sqrt{y^2 + 1})^3}$

Den er 0 for y=0, dvs. maximum kan ligge i (x,y)=(±1,0). f(-1,0) = -0,5, f(1,0) = 0,5. For grænsens vedkommende fås: x^2 + Y^2 = 9 => f(x,y) = x/10 => f-max = 3/10 =0,3, da x højst kan antage værdien 3.

Max er dermed 0,5.

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

For at vise, at de tre funktioner har en størsteværdi er det tilstrækkeligt at henvise til, at hver af de tre funktioner er kontinuert og defineret på en begrænset, afsluttet mængde. En kontinuert funktion defineret på en kompakt mængde (her afsluttet og begrænset) har et maksimum og et minimum.

Opgavens spørgsmål drejer sig her ikke om at finde størsteværdierne, kun om at vise, at funktionerne har en størsteværdi på de angivne mængder.

Skriv et svar til: Størsteværdi for mængden A.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.