HASTER!! Beregn koncentrationen af sølv(I)ioner

    n(Ag⁺) = n(AgNO₃) = (1 g) / (169,89 g/mol) = 0,005886 mol
    [Ag⁺] = (0,005886 mol) / (1,000 L) = 0,005886 M

    n(KCN) = n(CN^-) = (10 g) / (65,11 g/mol) = 0,1536 mol
    [CN^-] = (0,1536 mol) / (1,000 L) = 0,1536 M

                         Ag⁺ _(aq)   +   2 CN^- _(aq)    --->    Ag(CN)₂^- _(aq)
.

Så jeg skal ikke indsætte

0,005585-x  og  0,1536-2*x

i reaktionsbrøken?

Og hvordan ved jeg, hvad [Ag(CN)₂^-] er??

2)

   Ag⁺:
                   N/V = c · N_A  =  (0,005886 mol/L) · (6,02214•10²³ mol^-1)  =  3,54473·10²¹ L^-1

#4 

Jeg er slet ikke med på, hvad det er du har skrevet der? 

Hvor kommer de 6,02214•10²³ mol^-1 fra??

Jeg er fuldstændig lost og kan snart ikke tænke mere i dag..

Så vil du måske være så ekstraordinært rar at forklare lidt med ord? 

Jeg har på fornemmelsen, at jeg er tæt på at forstå det...

Hvis der med sølv(I)ioner menes Ag⁺(aq), så skal du gøre præcis som du har skrevet i #0.

Hvad der er mærkeligt er, at man ikke får noget godt resultat for x ...

Jeg antager, at der tales om ligevægtskoncentration af Ag⁺ og ikke startkoncentrationen. Du behøver ikke andengradsligningen. Hvis ligevægtsudtrykket skal give 10²⁰ M^-2 må x være tæt på 0,00589 M. Dette kaldes at lave en approksimation, som kontrolleres ved at sætte de fundne koncentrationer ind i ligevægtsudtrykket til sidst.

Dvs. man får

[Ag(CN)^2-] = 0,00589 M

[Ag⁺] ≈ 0 M

[CN^-] = 0,154 M - 2·0,00589 M = 0,142 M

Man får for [Ag⁺] med denne approksimation:

Resultatet ses at stemme med antagelsen om at koncentrationen er tæt på nul.

Antallet af Ag(I)-ioner er Advogadros tal gange koncentrationen:

3)
         CN^-  er i overskud.

[Ag+] = 5,89*10-3 - x ≈ 0

[CN-] = 0,154 - 2x = 0,1422 M

[Ag(CN)₂]^- = x = 0,005886 M

En detalje, som jeg glemte: ligevægtskonstanten er opgivet med en decimal: 1,0·10²⁰ M^-2, dvs. at [Ag⁺] skal også opgives med mindst en decimal. Den bliver derfor mere korrekt 2,9·10^-21 M.

#9

Når jeg løser den ligning du har skrevet får jeg 

x = 0,005886000016103967

?? 

(På opfordring)

For ligningen i #9 har vi

        (0,005886 - x) · (0,1536 - 2x)² = x·10^-20

hvor man er interesseret i løsningen tæt ved x = 0,005886 . Den kan løses med numerisk stabilitet ved iteration, idet man finder

        x_j+1 = 0,005886 - x_j·10^-20/(0,1536 - 2x_j)² .

Starter man med x₁ = 0,005886, ser man, at korrektionen til 0,005886 for at finde x₂ er -0,2926·10^-20 , dvs. med almindelig PC- og lommeregnernøjagtighed kan vi ikke se forskel på x₁ = 0,005886 og de itererede værdier. Med den givne nøjagtighed må man derfor stille sig tilfreds med, at x = 0.005886 - 0,29·10^-20 .

Hvis værdien af de definerende konstanter 0,005886 og 0,1536 er lidt forskellige fra disse værdier, vil løsningen ændres tilsvarende; dog vil korrektionsleddet -0,29·10^-20 ikke ændres mærkbart.

Ligningen

        (0,005886 - x) · (0,1536 - 2x)² = x·10^-20

er en 3.-gradsligning og den har i princippet 3 rødder. Hvis man formulerer den direkte som i #9

        x / ((0,005886 - x) · (0,1536 - 2x)²) = 10²⁰

og overgiver den uden ændringer til et CAS-værktøj, er det ikke sikkert, at rødderne bliver bestemt med optimal nøjagtighed. Med omskrivningen

        (0,005886 - x) · (0,1536 - 2x)² = x·10^-20

kan vi se, at hvis rødderne er numerisk af størrelsesordenen 1, er højresiden praktisk taget 0, og nulreglen giver umiddelbart anledning til at aflæse rødderne x₁ = 0,005886 og x₂ = x₃ = 0,1536/2 = 0,0768 . Iterationen omtalt i #12 tillod os at polere roden tæt ved 0,005886 til x₁ = 0,005886 - 0,29·10^-20 .

Hvis vi i stedet er interesseret i roden/rødderne omkring 0,1536/2, kan vi finde dem ved iterationen

        (0,1536 - 2x_j+1)² = x_j·10^-20/(0,005886 - x_j)

hvor igen korrektionen på højre side er numerisk meget lille. Dog bemærker vi her, at da |x₁| ≈ 0,0768 er korrektionen på højre side ikke nødvendigvis et positivt reelt tal, og vi får i stedet de polerede komplekse rødder

        x_j+1 = 0,0768 ± i·10^-10 · √(x_j/(x_j-0,005886))

dvs.

        x = 0,0768 ± 0,52·10^-10·i .

Man kan her forestille sig, at et CAS-værktøj, der forventer en reel rod, kan have vanskeligheder ved at bestemme de meget små imaginærdele.

Vi kan sammenfatte de numeriske resultater således:

Ligningen

        (a - x) · (b - 2x)² = x·10^-20 , hvor 0 < a < b < 1 , b > 2a ,

har én reel og to komplekse rødder, hvor den reelle rod med god tilnærmelse er

        x₁ = a - (a/(b - 2a)²)·10^-20

og de to komplekse rødder er hinandens kompleks konjugerede

        x_2,3 = b/2 ± i·(1/2)·10^-10·√(b/(b - 2a))

Vi kan polere de komplekse rødder i #14 lidt mere nøjagtigt ved at benytte, at polynomiet har reelle rødder, og at vi kan bestemme den reelle rod x₁ med meget stor nøjagtighed.

Ganger vi ligningen

        (a - x) · (b - 2x)² = x·10^-20

ud finder vi

        4x³ - 4(a+b)·x² + (4b+b² + 10^-20)x - ab² = 0

og udnytter vi, at x = x₁ er en reel rod, har vi da, at polynomiet på venstre side også kan skrives

        (4x² + Ax + B)·(x - x₁) = 4x³ + (A-4x₁)·x² + (B-Ax₁)·x - Bx₁ .

Ved sammenligning aflæser man, at

        A = 4·(x₁ - a - b)     og   B = ab²/x₁ .

Benytter vi den særdeles gode polering for den reelle rod x₁ = a - (a/(b - 2a)²)·10^-20 , får vi

        A = -4·(b + (a/(b - 2a)²)·10^-20 )   og   B = b² / (1 - 10^-20/(b-2a)²) .

2.-gradspolynomiet   4x² + Ax + B, som blev faktoriseret ud ovenfor, har diskriminanten

        d = A² - 16B ≈ 16·[ b² + 2ab·10^-20/(b-2a)² -b²·(1 + 10^-20/(b-2a)²) ]

                            = 16·(2ab-b²)·10^-20/(b-2a)²

                            = -16·b·10^-20/(b-2a) < 0 ,

hvor kvadratiske led i 10^-20/(b-2a)² er bortkastet.

Vi får da de polerede komplekse rødder til

        x_2,3 = (-A ± √d)/8

                = b/2 + (1/2)·(a/(b - 2a)²)·10^-20  ±  i·(1/2)·10^-10·√(b/(b - 2a))

I forhold til løsningen i #14 er realdelen blevet poleret med korrektionen (1/2)·(a/(b - 2a)²)·10^-20 .

Tusind tak allesammen!

Jeg fandt vist nok frem til en løsning ved at bruge lidt fra jer alle. Nu må vi se, hvad min lærer siger :-)

#8

Da ligevægtskonstanten er meget stor, kan man antage at ligevægten er forskudt helt mod højre. Dvs. man får

[Ag(CN)^2-] = 0,00589 M

[Ag⁺] ≈ 0 M

[CN^-] = 0,154 M - 2·0,00589 M = 0,142 M

Man kan lave en nærmere beregning af [Ag⁺] under denne antagelse:

Resultatet ses at passe med antagelsen om, at Ag(I)-ion koncentrationen er meget lille.

En omskrivning af #8 a), som din lærer muligvis bedre vil kunne lide, idet den taler om forskydning af ligevægt, et kemisk princip, som det er godt, man viser, at man forstår. Det oprindelige svar var rent matematisk.

(Bemærk også, som det nævnes undervejs, at man får en tredjegradsligning og ikke en andengradsligning, hvis man regner på ligevægtsudtrykket.)