Matematik

Hjælp til at differentiere

06. november 2014 af Mount (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan differentieres følgende:

$y'(t)=\frac{3t^2+30}{y(t)}$

Jeg skal finde løsningen til den, der opfylder y(0)=2

Det jeg havde tænkt var at separere ligningen, men det får jeg til 30. Jeg har taget udgangspunkt i y(0) altså at t=0. Så jeg har fået det til at være

y=3*0^2+30

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2014 af mathon

separer de variable

$y\, dy=\left ( 3t^2+30 \right )dt$ iog integrer på begge sider

$\int y\, dy=\int \left ( 3t^2+30 \right )dt$

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man har så

y dy = (3t² + 30) dt

dvs.

∫ y dy = ∫ (3t² + 30) dt

Integrer nu på hver side, og bestem så integrationskonstanten.

Svar #3
06. november 2014 af Mount (Slettet)

Altså

1/2y^2=t^3+30t

Så løser jeg mht. y ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du skal medtage en integrationskonstant på højre side.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2014 af mathon

$\frac{1}{2}y^2=t^3+30t+\frac{C}{2}$

y^2=2t^3+60t+C

$y(0)^2=4=2\cdot 0^3+60\cdot 0+C$

C=4

$y(t)=\sqrt{2t^3+60t+4}$

Svar #6
06. november 2014 af Mount (Slettet)

Hvordan kom du fra step 1-2?

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis du hentyder til #5, så ganges der med 2 på hver side af lighedstegnet.

Svar #8
06. november 2014 af Mount (Slettet)

Hvorfor siger han C/2 ? Hvor får han det fra det er jo bare c

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er jo for at komme multiplikationen med 2 i forkøbet, at konstanten kaldes C/2 . Man kunne også kalde den C' , hvor der så vil stå 2C' efter multiplikationen med 2, og så omdøber man 2C' til C .

Hvis C er en arbitrær konstant, vil k·C , hvor k ≠ 0, også være en arbitrær konstant.

Svar #10
07. november 2014 af Mount (Slettet)

Kan man bare sætte det den skal opfylde lig med resten som der gøres i #5?

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, man bestemmer jo konstanten C ud fra betingelsen y(0) = 2 , så man sætter t = 0 i den generelle løsning og bestemmer så værdien af C, så den betingelse er opfyldt.

Når man har

y(t)² = 2t² + 60t + C ,

y(0)² = C

og der skal jo gælde, at y(0)² = 2² = 4 , dvs. C = 4 .

Brugbart svar (0)

Svar #12
07. november 2014 af BadBoyBard (Slettet)

#10: Når du har seperable differential equations, som du har her, er det vigtigt, at du isoler, således at du får en variabel på den ene side og en variabel på den anden side af lighedstegnet.

Og ja, den løsning til din generelle differentialligning, der hedder y(0) = 2 får du ved at indsætte 0 i x's plads og 2 i y's plads og derefter finde den constant, C, der rent faktisk opfylder den betingelse. Det er bare at finde den C værdi, der sikrer, at dit lighedstegn holder.

Håber det gav mening

Bard

Skriv et svar til: Hjælp til at differentiere

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.