Matematik

Væksthastighed og model

02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hejsa, jeg skal løse en opgave, bestående af 4 underopgaver. Nogle af dem tror jeg at jeg har løst, men har bare lige brug for at få det bekræftet:-)
Opgaven lyder:

I en model for væksten af en bestemt population er antallet af individer i populationen N som funktion af tiden t (målt i døgn) givet ved $N(t)=\frac{2000}{1+39\cdot e^-^0^,^1^\cdot ^t}$
a) Bestem ved hjælp af modellen antallet af individer og væksthastigheden til tiden t=0.
b) Skits´er grafen for N i intervallet $\sqsubset 0;100\sqsupset$ , og bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer er 1000.
c) Bestem væksthastigheden efter 50 døgn.
d) Bestem den øvre grænse for antallet af individer i populationen.

Mine spørgsmål er:
a) Jeg har løst opgaven ved at indsætte 0 på t's plads: $N(0)=\frac{2000}{1+39\cdot e^-^0^,^1^\cdot ^0}=50$ . Min konklusion er så: På 0 døgn er der 50 individer.
Er dette rigtigt? Er også i tvivl om ligningen skulle have været differentieret først.

b) Vi har til denne fået at vide at vi skal definere funktionen i Nspire, men er det den oprindelige funktion? Og hvad menes der med $\sqsubset 0;100\sqsupset$ ?

c) Denne minder jo lidt om a: $N(50)=\frac{2000}{1+39\cdot e^-^0^,^1^\cdot ^5^0}=1583,81$ . Igen er jeg i tvivl om den skulle have været differentieret.

d) Denn opgave skal også laves i Nspire, men er der nogen er ved hvordan? :S Kan ikke finde ud af Nspire...

Håber virkelig i kan hjælpe!

// Natascha

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2014 af mathon

$N(50)=\frac{2000}{1+39\cdot e^{-0,1\cdot 50}}=1583,81$

$N{\, }'(t)=0,00005\cdot N(t)\cdot (2000-N(t))$

$N{\, }'(50)=0,00005\cdot N(50)\cdot (2000-N(50))$

$N{\, }'(50)=0,00005\cdot 1583,81\cdot (2000-1583,81)\approx 33$

Svar #2
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Vil du prøve at forklare det?:-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. december 2014 af mathon

eller
$N{\, }'(t)=\frac{7800\cdot e^{-0,1\cdot t}}{\left (1+39\cdot e^{-0,1\cdot t} \right )^2}$

$N{\, }'(50)=\frac{7800\cdot e^{-0,1\cdot 50}}{\left (1+39\cdot e^{-0,1\cdot 50} \right )^2}\approx 33$

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. december 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

N(t) betegner populationens størrelse til tiden t.

N '(t) er væksthastigheden til tiden t.

Lad os derfor starte med at differentiere N:

N '(t) = ( -2000/(1+39e^-0,1t)² ) * (1 + 39e^-0,1t)' =

( -2000/(1+39e^-0,1t)² ) * (0 + 39e^-0.1t * (-0,1t)' ) =

( -2000/(1+39e^-0,1t)² * 39e^-0,1t * (-0,1) =

7800e^-0,1t/(1 + 39e^-0,1t)²

Du skal finde N(0) og N'(0).

Tegn grafen for N. Du har t ud af x-aksen. Det er t, der skal ligge i intervallet 0 til 100.

Jeg kan ikke helt gennemskue, om de vil have spørgsmålet besvaret grafisk. Enten skal du aflæse t-værdien, hvor N er 1000, eller også skal du løse ligningen N(t) = 1000.

Det er N'(50) du skal beregne.

Jeg kender ikke Nspire, men det er vel, at du skal lade t → ∞ og så se, at N → 2000.

Svar #5
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Mange tak!

Hvad jeg bare ikke helt forstår er, hvorfor N bliver differentieret sådan... Jeg har tjekket vores regler om differentialkvotienter, men kan ikke se den løsning. Er der en bestemt regel der gør at man ender med 7800e^-0,1t/(1+39e^-0,1)^2?

a) Altså begge? Når N'(0) findes, sættes 0 vel bare ind i løsningen af N'(t), ikke? :)

b) Altså det første N? N(t)=2000/(1+39e^-^0^,^1t)

c) super!

d) Okay, det ved jeg bare ikke hvordan man gør i Nspire, men det må vel kunne lade sig gøre at finde ud af:-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. december 2014 af mathon

$1000=\frac{2000}{1+39\cdot e^{-0,1\cdot t}}$

$1+39\cdot e^{-0,1\cdot t}=2$

$39\cdot e^{-0,1\cdot t}=1$

$e^{-0,1\cdot t}=\frac{1}{39}=39^{-1}$

$e^{0,1\cdot t}=39$

$0,1\cdot t=\ln(39)$

$t=10\cdot \ln(39)$

Svar #7
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Er det så t=10*ln(39) man skal skrive i Nspire? :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. december 2014 af mathon

Du skal på TI-Nspire definere
f(x)=2000/(1+39*e^(-0,1*t)

og
g(x) = d(f(x),x)

Svar #9
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Hvorfor den sidste?

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. december 2014 af mathon

g(x) = f '(x)

Svar #11
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Okay.

Jeg har skrevet det ind i Nspire, men der står bare udført... ved du om jeg skal gøre andet?

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. december 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Det er reglen om differentiering af en sammensat funktion, du skal bruge.

Hvis man har en sammensat funktion:

h(x) = g(f(x))

Så differentieres den som

h '(x) = g '(f(x)) * f '(x)

Nogle kalder denne regel for "afklædningsreglen", da man starter med et differentiere den yderste funktion, og så arbejder sig indad.

I vores tilfælde er den yderste funktion f(x) = 2000/x, som differentieres til f '(x) = -2000/x². Her skal der bare på x's plads stå funktionen 1 + 39e^-0,1t og så skal man herefter gange med denne funktions differentialkvotient. 1 + 39e^-0,1t differentieres til 0 + 39*(e^-0,1t)'. e^-0,1t er igen en sammensat funktion, hvor vi har e^x yderst og -0,1t inderst. e^x differentieret giver e^x og -0,1t giver -0,1. Så (e^-0,1t)' = e^-0,1t*(-0,1)

Ja, vi bliver spurgt om dem begge to.

Antal individer til t=0: Finder du som N(0)

Væksthastighed til t=0: Finder du som N'(0)

Ja, det er N(t) du skal tegne grafen for.

Svar #13
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

Tak igen:-)

Svar #14
02. december 2014 af AngelzNight22 (Slettet)

#6
b)

                          $1000=\frac{2000}{1+39\cdot e^{-0,1\cdot t}}$

                          $1+39\cdot e^{-0,1\cdot t}=2$

                          $39\cdot e^{-0,1\cdot t}=1$

                          $e^{-0,1\cdot t}=\frac{1}{39}=39^{-1}$

                        $e^{0,1\cdot t}=39$

                        $0,1\cdot t=\ln(39)$

                        $t=10\cdot \ln(39)$

Hvordan kan det være at 0,1 går over på den anden side og bliver 10?

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. december 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Der bliver bare divideret med 0,1 på begge sider af lighedstegnet.

1/0,1 = 10

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. december 2014 af mathon

$0,1\cdot t=\ln(39)$

$\frac{1}{10}\cdot t=\ln(39)$

$t=10\cdot \ln(39)$

Skriv et svar til: Væksthastighed og model

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.