Bevis formlen vha. induktion

Ved du hvad F står for? Det er rart at vide, hvad som er givet, og hvad man skal bevise.

Jeg tænker umiddelbart:

Der er vel tale om Fibonacci-tallene, hvor n angiver det n'te Fibonacci-tal?
dermed bliver venstre side af antagelsen summen af alle Fibonacci-tal på ulige pladser i rækkefølgen
(det første, det tredje, det femte osv...)
Højre side bliver således et Fibonacci-tal på en lige plads.

Antagelsen for n er:    F₁ + F₃ + F₅ + .... + F_2n-1 = F_2n

For n+1 må det jo derfor være således:

F₁ + F₃ + F₅ + .... + F_2n-1 + F_2(n+1)-1 = F_2(n+1)
F_2n + F_2(n+1)-1 = F_2(n+1)
F_2n + F_2n+2-1 = F_2n+2
F_2n + F_2n+1 = F_2n+2

Af hvilket ses, at Fibonacci-tallet F_2n+2 er summen af de to forrige
hvilket er i overensstemmelse med talfølgen

Kan det måske bruges?

Hej. 
Rigtig mange gange tak for dit brugbare svar!

Jeg forstå ikke "steppet" fra linje 1 til 2. Hvordan bliver det gule i linje 1 forkortet til F2n i linje 2? 
 

Okay. Så hvis jeg antager at p(n) er sand, så må p(n+1) ligeledes gælde at være sand?

#5

Det er det man viser. Man viser et udsagn p(n) ved induktion ved først at vise, at p(n₀) er sandt for et n₀ , typisk n₀ = 1. Dernæst antager man, at p(n) er sandt og man viser så, at p(n+1) er sandt.

Her er der tale om Fibonaccitallene F_n, der er defineret ved, at

       F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n + F_n+1 , n ≥ 1 .

Udsagnet p(n) er her

        p(n): F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 = F_2n .

Her har man først   p(2): F₁ + F₃ = F₄ , hvilket er sandt, da F₁ = F₂, og F₄ = F₂ + F₃ via definitionen.

Vi antager nu, at p(n) er sandt, dvs F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 = F_2n , og vi ser nu på venstresiden i p(n+1). Her har vi

        p(n+1), venstreside: F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 + F_2n+1 = F_2n + F_2n+1 = F_2n+2 via definitionen, og heraf ser man, at p(n+1) er sandt.

Igen - mange tak for dine svar!

Jeg forstå ikke hvordan, at alle disse er lig hinanden?

"Her har vi p(n+1), venstreside: F1 + F3 + ... + F2n-1 + F2n+1 = F2n + F2n+1 = F2n+2 via definitionen, og heraf ser man, at p(n+1) er sandt."

Jeg synes egentig at have forstået induktionspricippet, men mangler en afrunding. Jeg har svært ved at runde beviset helt af. At slutte af med F2n+2 forstår jeg ikke hvordan kan bevise F1 + F3 + F5 + .... + F2n-1 = F2n, hvor den jo er lig F2n.
 

#7

Man antager, at p(n) er sandt. Man antager altså, at der gælder

        F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 = F_2n

Venstresiden i udsagnet p(n+1) er F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 + F_2n+1 , som jo fås ved at lægge F_2n+1 til venstresiden i udsagnet p(n) . Derfor har vi

        F₁ + F₃ + ... + F_2n-1 + F_2n+1 = F_2n + F_2n+1 .

Man udnytter så, at F_2n + F_2n+1 er lig med F_2n+2 ifølge definitionen for Fibonacci-tallene, og F_2n+2 er jo netop højresiden i udsagnet p(n+1) . Vi har altså vist, at venstresiden i udsagnet p(n+1) er lig med højresiden i udsagnet p(n+1), og dermed har vi vist, at p(n+1) er sandt.

Mange tak for hjælpen. Det har været rigtig brugbart  og jeg er meget taknemlig for at du har villet tage dig tid:-) Jeg synes, jeg har bedre styr på det nu! 

Nu har jeg siddet med det lidt længere, og denne sætning giver ikke mening:

Man udnytter så, at F2n + F2n+1 er lig med F2n+2 ifølge definitionen for Fibonacci-tallene

Hvad specifikt ved definitionen af Fibotallene udnyttes?

#10

Fibonacci-tallene er jo defineret ved, at et tal i rækken er lig med summen af de to foregående tal. Derfor er

        F_2n+2 = F_2n+1 + F_2n

Tak :-)