Matematik

funktion af to variable- grænseværdi

04. januar 2015 af ghdfir (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg har funktionen: f(x,y)=sqrt(4xy-3y^2) og jeg skal finde grænseværdien:

$\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{f(h,rh)}{h}$ for alle r∈[0,4/3]

Jeg ved ikke hvordan jeg skal løse dette. Jeg forstår ikke helt, hvad h står for. Og skal jeg sætte alle værdier mellem 0 og 4/3 ind på r's plads?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2015 af ma1908 (Slettet)

Er du sikker på der ikke skal stå $h \rightarrow 0^+$ ? Der er jo ikke noget x i dit grænseudtryk.

I så fald skal du bare sætte h ind på x's plads og rh ind på y's plads i dit udtryk for f(x,y).

$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h,rh)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{4hrh-3(rh)^2}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h^2(4r-3r^2)}}{h}= \lim_{h\to 0^+}\frac{\vert h\vert \sqrt{(4r-3r^2)}}{h}=\sqrt{(4r-3r^2)}$ Dette gælder kun for $r\in[0,4/3]$ , da du ikke kan tage kvadratroden af et negativt reelt tal.

Svar #2
04. januar 2015 af ghdfir (Slettet)

Ja du har ret. Der står h. Ikke x.

Så det endelige svar er sqrt(4r-3r^2)?

Svar #3
04. januar 2015 af ghdfir (Slettet)

Mellem trin to og tre kan jeg godt se at h^2 bliver taget udenfor parentes. men jeg forstår ikke helt hvad der sker i trin 4. Hvorfor står der pludselig $\left |h \right |$ i tælleren?

Brugbart svar (2)

Svar #4
04. januar 2015 af ma1908 (Slettet)

Der gælder jo at

$\sqrt{h^2}=\vert h \vert$

Men for $h \to 0^+$ er h jo positiv, derfor er

$\lim_{h\to 0^+}\frac{\vert h \vert}{h}=1$

Svar #5
04. januar 2015 af ghdfir (Slettet)

Ah nu forstår jeg. Tusind tak!

Skriv et svar til: funktion af to variable- grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.