Matematik

Logistisk vækst - største væksthastighed

22. februar 2015 af joakimersej (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej derude,

jeg sidder i øjeblikket med min SRO om gærceller og vækst. En af punkterne i min opgave er at opstille et matematisk model over gærsvækst, hvilket jeg gjorde i form af en logistisk funktion.

Nu skal jeg finde ud af, hvornår væksthastigheden er størst på min kurve. Dette har jeg lidt problemer med :(

Håber i kan hjælpe smider lige nogle billeder af min funktion/kurve

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-02-21 kl. 20.56.51.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. februar 2015 af mathon

Logistisk vækst:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=ay(M-y)\; \; \; \; \; a,M,y\in \mathbb{R}_+\; \; \; \; y<M$

$f(x)=y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$
maksimal væksthastighed
for

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(M-y)+ay\left ( -\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=0$

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=\underset{\mathbf{\color{Red} positiv}}{\underbrace{a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}}(M-2y)=0$

hvoraf $y=\frac{M}{2}$

Størst væksthastighed haves,
for $y=\frac{M}{2}$
dvs
$y=\frac{M}{2}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$1+Ce^{-aMx}=2$

$Ce^{-aMx}=1$

$e^{-aMx}=C^{-1}$

$e^{aMx}=C$

$aMx=\ln(C)$

$x=\frac{\ln(C)}{aM}$

$\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{d} x^2}\! \! :$ + 0 -
0__________M/2__________M
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\! \! :$ voksende aftagende

Størst væksthastighed haves,
for $x=\frac{\ln(C)}{aM}$

Svar #2
22. februar 2015 af joakimersej (Slettet)

Jeg er ikke sikker på jeg forstår forskellen mellem den maksimale og største væksthastighed :)?

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. februar 2015 af mathon

i anvendelse:

$f(x)=y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$y=\frac{4544,27}{1+\mathbf{\color{Red} 194,521}e^{-\mathbf{\color{Blue} 0,032396}\cdot x}}$

                                     Maksimal væksthastighed haves,
                                     for
                                      $x=\frac{\ln(194,521)}{0,032396}=162,691$

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. februar 2015 af mathon

maksimal = størst

Jeg burde konsekvent have anvendt samme betegnelse!

Svar #5
22. februar 2015 af joakimersej (Slettet)

Jeg takker for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. februar 2015 af mathon

korrektion af potenseksponentposition:

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}\! \! :$ + 0 -
0__________M/2__________M
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\! \! :$ voksende aftagende

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. februar 2015 af mathon

Alternativt og hurtigere:

væksthastigheden
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=ay(M-y)$ et en andengradspolynomium, hvis parabels toppunkt

har - da rødderne er 0 og M - førstekoordinaten

$y=\frac{0+M}{2}=\frac{M}{2}$

Maksimal væksthastighed haves,
for
$y=\frac{M}{2}$
dvs
$y=\frac{M}{2}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$1+Ce^{-aMx}=2$

$Ce^{-aMx}=1$

$e^{-aMx}=C^{-1}$

$e^{aMx}=C$

$aMx=\ln(C)$

$x=\frac{\ln(C)}{aM}$

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}\! \! :$ + 0 -
0__________M/2__________M
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\! \! :$ voksende aftagende

                                     Maksimal væksthastighed haves,
                                     for
                                      $x=\frac{\ln(C)}{aM}$

Skriv et svar til: Logistisk vækst - største væksthastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.