Fremstilling af funktion, der opfylder 3 krav

Der er tale om at konstruere en funktion, ikke en ligning, der har de nævnte egenskaber. Det simpleste er et 2.-gradspolynomium, hvis graf går gennem de to punkter og som har differentialkvotienten a for x = x₁,

        f(x) = Ax² + Bx + C

Man har så ligningerne

        Ax₁² + Bx₁ + C = y₁
        Ax₂² + Bx₂ + C = y₂

        2Ax₁ + B = a

Arh... Jeg ved ikke, hvad jeg har tænkt på. Jeg har åbenbart ikke kunnet se skoven for bare træer :o)

Tak skal du have! Godt med lidt overblik. Jeg glemmer nok, at der kun er 3 ubekendte. 

#2

Der er naturligvis uendeligt mange andre differentiable funktioner, der opfylder disse betingelser, men 2.-gradspolynomiet er nok den simpleste funktion iblandt dem.

#3 Jeg skulle også bare give ét eksempel, så det er helt fint - tak :-)

Hej igen. Jeg er stødt på problemer. 

Jeg har prøvet at tage disse steps nu, men ligningen, der fremkom, mangler at opfylde mindst ét krav.

Min opg. er hvor a = 1.39, x1 = 26, y1 = 9.1, x2 = 30, y2 = 17.

Når jeg ser på det i et grafisk tegneprogram, ser det ikke ud, som om det er muligt for en parabel at gå igennem disse punkter, hvis a skal være 1.39 i x = 26.

Jeg nåede frem til ligningen: f(x) = 0.0363x² -0.4976x - 2.5016

Den går dog ikke helt igennem (x2,y2), selvom den ikke er langt fra. De to andre krav opfylder den. 

Jeg prøvede så et internet-værktøj til at se, om jeg havde beregnet koefficienterne forkert. Der fik jeg:

f(x) = (1249/35100)x² - (1243/70200)x - 2609/180

Denne funktion går igennem begge punkter, men a er langt fra 1.39 (nærmere 1.87 eller noget i den stil).

Gør jeg noget forkert, eller er det bare ikke muligt?

#5

Fremgangsmåden er korrekt, da du benytter fremgangsmåden i #1, men vi aner jo ikke, hvad du taster ind på dit matematiske legetøj. Opgaven er ellers ligetil at løse i hånden. Man opstiller ligningssystemet

(I)         26²·A + 26·B + C = 9,1
(II)        30²·A + 30·B + C = 17
(III)        2·26·A + B = 1,39

Trækker man (I) fra (II), får man

        (30² - 26²)·A + (30-26)·B = 17 - 9,1 = 7,9

dvs.

        (30 + 26)·A + B = 7,9/(30-26) = 7,9/4

altså

        56·A + B = 7,9/4
        52·A + B = 1,39

så

        A = (7,9/4 - 1,39)/4 = 0,14625 (eksakt)

        B = 1,39 - 52·A = -6,215 (eksakt)

        C = 9,1 - 26²·A - 26·B = 71,825 (eksakt)

altså

        f(x) = 0,14625·x² -6,215·x + 71,825

Denne funktion opfylder alle tre betingelser eksakt.

Kan man godt bare trække ligningerne fra hinanden for at løse dem? Og hvorfor lige trække fra? Hvordan kan du vide, hvilke der skal trækkes fra hinanden?

Jeg er vant til at løse det på en meget mere besværlig måde (eller jeg er ikke blevet introduceret for andre metoder). Jeg har først isoleret A i henholdvis I og II, sat ligningerne over for hinanden og fået et udtryk for B. Det samme har jeg gjort med I og III, og så har jeg de to udtryk for B over for hinanden og isoleret C.

Udtrykket for C har jeg så sat ind i udtrykket for A og B og fik så (efter en meeeget lang isoleringsproces, hvor meget kan være gået galt) den første ligning i #5.

Men det andet er da 100 gange nemmere! :-) Men jeg forstår ikke helt, hvorfor man kan løse det på den måde?

Men altså 1000 gange tak for hjælpen :-)!

#7

Her er det en fordel at trække ligningerne fra hinanden, da man så ender med 2 ligninger i de ubekendte A og B, der er simple at løse.

Jo, man kan da også benytte substitutionsmetoden, men fremgangsmåden i #6 er ganske simpel at benytte her. Det drejer sig om ikke altid at gå over åen efter vand.

#9 Jeg har læst mig lidt frem om metoden på nettet og fandt bl.a. denne side: http://gymportalen.dk/hvadermatematikc/388

Jeg forstå det meget bedre nu :-)

"Samtidig har metoden den store fordel frem for substitutionsmetoden, at man ikke drukner i brøkregningsfejl." Kunne ikke være mere enig, haha. Nå, men super tak for hjælpen :-)