Rang vs. dimension

Lidt af det samme i denne opgave. På maple har jeg defineret min matrice F, sat en homogen højreside. Undersøgt rangen til at være lig 2. Gauss reduceret matricen, og ud fra det ved jeg ikke hvordan angive en basis som tilhører billederummet 3. 

Maple outputet tilhører denne opgave og ikke det første billede som er vedhæftet. 

#0

#2

#1

Dimensionen er noget der vedrører vektorer, rangen vedrører matricer.

Dimensionen af et vektorrum er antallet af vektorer i basis eller om du vil antal af lineært uafhængige vektorer, der skal til for at du kan få alle vektorer i vektorrummet frem.

Rangen af en matrix er antallet af lineært uafhængige rækker eller søjler. Det kan også angives som dimensionen af billedrummet.

Mange tak for svaret Peter. Kan du hjælpe med de opgaver jeg har lagt det det kan være det hjælper lidt på at forstå sammenhængen. 

#0 dimensionen af kernen + dimensionen af billedrummet er det samme som dimensionen af vektorrummet

#1 Det er let at se at de to første søjler i matricen er lineært uafhængig. Den tredje søjle kan skrives som 3*første søjle+ anden søjle så rangen og dermed billedrummet er 2. Søjlerne er billedvektorerne af basisvektorerne så de to første søjler i matricen udgør en basis i vektorrummet

Jeg kender ikke maple så udskriften siger mig ikke noget

Jeg beklager rigtig meget, men jeg forstår ikke hvad kernen og billederummet er. Altså jeg forstår ikke det basale derfor forstår jeg ikke hvad det vil sige en dimension af kerne. Og dimension af billederummet. 

Jeg har læst om det i min bog, men føler det er let men jeg kan bare ikke forstå det :(. Jeg håber du kan forklare mig det på et basalt niveau. 

Derudover vil jeg hører dig hvordan du kan se ud fra søjlerne i matricen om de er lineært uafhængige? 

Det som jeg ikke helt forstår er rent faktisk begreber altså:

- Billedevektor 

- Dimension 

- Rang 

- Billederum 

- Span

- Kerne 

- Vektorrummet 

- Basis 

Hvis du gider forklarer mig det vil jeg være super taknemlig!!! 

Mange tak for dine svar! :)

Det er altså temmeligt meget du spørger om. Jeg har altså mine begrænsninger, og jeg tror bestemt ikke at jeg kan forklare det bedre end din bog. Jeg vil anbefale, at du ser i din bog om de pågældende emner  Hvis du så støder på et bestemt sted, hvor der er noget du ikke forstår, kan du vende tilbage og spørge om det.

Det er ikke fordi jeg slet ikke aner hvad begreberne omhandler. Jeg er forvirret over begrebernes indflydelse på hinanden. Min bog gør det kompliceret selvom det ikke er det. Jeg synes du forklarer det enklere, derfor var jeg interesseret i en forklaring fra dig..Jeg forstår dig godt! Kan du måske hjælpe med hvordan man angiver en basis for et billederum (se vedhæftet opgave), og hvordan kan du ud fra vektorerne direkte se om de er lineært uafhænige?

Tak igen 

Bestemmer man dimmensionen af et billederum ved at bestemme rangen og trække det fra den dimension vi får givet i opgaven? 

Som nævnt tidligere er søjlerne i matricen billedet af basisvektorene. Du kan derfor altid finde nogle basisvektorer som søjler i matricen.

i det aktuelle tilfælde

Hvis to vektorer er lineært afhængig er de proportionale. Du kan få den ene vektor ved at gange den anden med et passende tal. Det er nemt at se at det ikke gælder for nogle par af søjler i matricen. Rangen er altså mindst 2. Så skal du se om en af søjlerne kan skrives som en linearkombination af de andre. De to første søjler er de enkleste så man vil prøve om der findes tal u og v så u*s₁+v*s₂ = s₃. på grund af nullet er det nemmest at se på førstekoordinaterne i søjlerne først. Derefter kan du en af de andre koordinater Når du har fundet u og v, må du så lige kontrollere om den holder for alle koordinater

Mange tak for svaret! 

#11 Peter derfor må det passe at rangen af en matrice svarende dens dimension? 

En matrix har ingen dimension.