Matematik

Løs intervallet [0;2π] for ligningen

03. september 2015 af ztuema (Slettet) - Niveau: A-niveau

Løs intervallet [0;2π] for ligningerne;

a) 2cosx = sinx

b) cosx = -1/2 sinx

Er helt i tvivl om hvordan jeg løser disse opgaver... Nogen der kan give forklaringen på den ene, så jeg kan prøve at løse den anden selv? Er det enhedscirklen jeg skal tage et kig på, eller noget helt andet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. september 2015 af Soeffi

a) 2·cos(x) = sin(x). Prøv at løse 2=tan(x) (x ≠ π/2) i intervalet [0;2π]

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. september 2015 af Stats

2·cos x = sin x
2 = sin x / cos x
2 = tan x

(hvilket er lige til at løse)

cos x = -1/2 sin x
cos x / sin x = - 1/2
1 / tan x = -1/2
1 = -1/2 tan x
1/(-1/2) = 2 = tan x

(som igen er lige til at løse)

Følgende identiteter er nyttige:
$\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{\tan(x)}$

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. september 2015 af mathon

b)
$\sin(x)=-2\cos(x)$
for $x\neq\frac{\pi}{2}$

$\tan(x)=\tan(x+\pi)=-2$

$x=\left\{\begin{matrix} 2{,}03444\\5{,}17604 \end{matrix} \right .$

Svar #4
03. september 2015 af ztuema (Slettet)

Måske et lidt dumt spørgsmål, men hvordan beregnes tan(x)=2?

Svar #5
03. september 2015 af ztuema (Slettet)

Har prøvet mig frem, men får et et tal, der er højere end 2π

Svar #6
03. september 2015 af ztuema (Slettet)

tan(x)=2

tan^-1(2)=x

x = 1,107

Sådan?

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. september 2015 af Stats

Hint:
Tangens har perioden π

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #8
03. september 2015 af ztuema (Slettet)

Hvordan skal det bruges? Det er første gang jeg regner med trigonometriske funktioner og radian, så jeg har derfor ikke den store forståelse for, hvordan det helt er endnu :)...

Svar #9
03. september 2015 af ztuema (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. september 2015 af mathon

$\left(\tan^{-1}(-2)+\pi\right) \in [0;2\pi[$

$\tan^{-1}(-2)+\pi=2{,}03444$

Svar #11
04. september 2015 af ztuema (Slettet)

Hvorfor til -2?

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. september 2015 af mathon

#11
$\sin(x)=-2\cos(x)$

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=-2$

$x=\left(\tan^{-1}(-2)+\pi\right) \in [0;2\pi[$

Svar #13
04. september 2015 af ztuema (Slettet)

Jeg har at

2cosx = sinx

Hvor kommer de -2 fra?

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

#6:

Det er rigtigt.

Da tan er periodisk med perioden 2π, vil der i intervallet være en løsning mere. Den er π større, end den, du har.

I anden opgave ganger du igennem med -2 og dividerer med cos(x). Derved får du -2 på venstre side, hvor du før havde 2. Derfor -2.

Svar #15
06. september 2015 af ztuema (Slettet)

Er der så kun en løsning ved anden opgave?

Brugbart svar (0)

Svar #16
06. september 2015 af mathon

$\tan^{-1}(-2)+p\cdot \pi$ for $p\in\{1,2\}$

Svar #17
06. september 2015 af ztuema (Slettet)

$p \neq 2$

$tan^{-1}(-2)+2*\pi \neq [0;2\pi ]$

Er p = 1?

Brugbart svar (0)

Svar #18
06. september 2015 af mathon

$\tan^{-1}(-2)+p\cdot \pi$ for $p\in\{1,2\}$

$\tan^{-1}(-2)+\mathbf{\color{Red} 1}\cdot \pi=2{,}03444$

$\tan^{-1}(-2)+\mathbf{\color{Blue} 2}\cdot \pi=5{,}17604\in[0;2\pi [$

Brugbart svar (0)

Svar #19
06. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

#15 Der er igen to løsninger. Se #18.

Skriv et svar til: Løs intervallet [0;2π] for ligningen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.