Hjælp til at finde overfladearealet af en bøjle søges!

Jeg kan godt huske denne tråd, men kan ikke finde den. Det er nok også det bedste.

Jeg vil prøve, at hjælpe dig på vej på en anden måde.

Det første, der falder mig ind, er, at bøjlen er symmetrisk. Det er derfor muligt at dele den op langs den vandrette symmetriplan i to dele, der har samme overfladeareal. Så kan man finde arealet af den ene og så gange med to til slut.

Hver af delene består af et buet stykke og et lige stykke. Hver af dem har 4 sider, ialt 8 sider.

Fladjernet er 2mm*5mm. For nemheds skyld vil jeg omtale de 2mm som tykkelse, forkortet t, og de 5mm som bredde, forkortet b. Krumningsradierne kalder jeg r=5mm og R=10mm.

Første problem er at bestemme bøjningsvinklen. Her kender vi radius R og stykket s, som er de 9mm. Vi kan her benytte s = Rsin(v), fordi s er målt vinkelret på symmetrilinien, så vi har en retvinklet trekant. Heraf vi kan finde v=arcsin(s/R).

Nu kan vi regne på de fire flader af det buede stykke. Der er to ens flade sider. De er hver afgræset af to cirkelbuer med radier r og R og med vinkle v. Deres areal fås ved at man udregner de to cirklers areal, trækker dem fra hinanden, og tager den del, der svarer til v:

A_R = πR², A_r = πr² så ringens areal bliver (πR² - πr²), hvoraf kun v/(2π) skal bruges.

Fortsættelse følger.

Ydersiden af buen er en del af en cylinderflade. Arealet af en cylinderflade er højden (her tykkelsen t) gange 2 pi gange radius. Heraf skal vi kun bruge stykket svarende til vinklen v:

A_{ydre bue} = t * 2π R *v /(2π) = tRv.

Tilsvarende for indre bueflade.

Det lige stykke:

Det har to rektangulære sider med forskellig længde og bredde t og to trapezformede sider med højde b.

Vi skal kende længderne.

Vi indfører fire punkter på trapez-siderne. A ligger ved buestykkets inderside. B ved buestykkets yderside. C ved den plane flade ved ydersiden og D ved den plane flade, Π, ved indersiden.

Desuden har vi O, som er centrum for det buede stykke, og E, der er Πs skæring med symmetriplanen, begge på bøjlens forside.

Afstanden fra O til Π er de 45mm, der er vist på tegningen minus radius i buens yderside:

OE = 45mm - R = 45mm - 10mm = 35mm.

A ligger lidt længere fra Π, nemlig stykket rcos(v). Tilsvarende for B: Rcos(v)

Vinklen mellem Π og AD er v. Længden af AD kan så findes af AD = AΠ/cos(v).

Heraf fås: AD = (OE + rcos(v))/cos(v) og på tilsvarende måde BC =(OE +Rcos(v))/cos(v).

Så kan vi finde de fire arealer (hvoraf to er ens):

A₁ = t * BC

A₂ = t* AD

A₃ = A₃ = ½b*(AD + BC)

Så mangler der bare, at lægge det hele sammen og gange med 2 (symmetrien).

#2

Jeg får overflade arealet af halvdelen af det bøjede stykke til 117,5757991, men da jeg skal finde overflade arealet for det ene lige stykke forstår ikke helt hvorfor vinklen mellem |_| og AD er v?

Det er en lille spidsfindighed. Der er en vinkel mellem symmetriaksen og OB. Den er v. Vinklen mellem Π og det lieg stykke ligger, så BC er vinkelret på OB, og Π er vinkelret på symmetriaksen. Da den ene vinkels ben står vinkelret på den andens tilsvarende ben, er de lige store.