Optimale kombination af x og y (Lagrangefunktin)

Hvorfor trækker du leddet med λ fra? Plejer man ikke at lægge det til? Altså for eksempel for at maksimere en funktion f(x,y) under restriktionen g(x,y)=0 opskriver man funktionen:

U(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y), hvorefter man differentierer med hensyn til x,y og λ, og så løser det ligningssystem som kommer ud? Det er sådan jeg ville gøre?

Det har du såmænd også ret i. Det må være en fejl fra min side af. Det skal være + lambda. Mit problem er netop hvordan jeg skal løse ligningssytemtet, når der er tre ubekendte. 

Du har ligningerne:

Det er 3 ligninger med 3 ubekendte, jeg ville nok først isolere λ, og sætte de to første ligninger sammen, på den måde få 2 ligninger med 2 ubekendte, men det bestemmer du selv :)

Okay tak for det. :) Jeg er nået frem til at λ= 4y-2x, x = -0.25 og y=0.5. Dette indsætter jeg i λ hvilket giver:

λ= 4y-2x

λ= 4(-0.25)-2(0.5) = 2.5

Lyder det nogenlunde rigtigt?

-4x+2+2λ=0 <=> -4x+2=-2λ <=> 2x-1=λ

-8y+2+4λ=0 <=> -8y+2=-4λ <=> 2y-1/2=λ, disse to udtryk sættes sammen:

2x-1=2y-1/2 <=> 2x=2y+1/2 <=> x=y+1/4, sættes ind i sidste ligning:

2(y+1/4)+4y-1=0 <=> 2y+1/2+4y-1=0 <=> 6y=1/2 <=> y=1/12

2x+4·1/12-1=0 <=> 2x+1/3-1=0 <=> 2x=-2/3 <=> x=-1/3

Det er hvad jeg får?? hmm..

Jeg har lige indtastet min beregninger på computer. Kan du evt se hvor jeg går galt? Se vedhæftet billede

Veshæftet her er resten

Hov, i #5 bliver det vist x=1/3, der har sneget sig et minus ind...

Mht. det du skriver sker der vist en fejl nederst på side 1, du burde komme frem til x=1/4 (de minuser der...).

Men metoden er ikke så god, fordi du bruger intet sted betingelsen at 2x+4y-1=0. På din måde finder du bare én tilfældig løsning til de to ligninger U_x=0 og U_y=0, men der jo mange! Så du bliver nød til at løse det med alle tre ligninger (du kan evt. skrive det på matrix-form) :) 

Desuden er det en god ide at tjekke med de oprindelige ligninger om ens resultat er rigtigt!

Du ahr fuldstændig ret. :) Kan godt se det nu. Har lige studeret #5 en gang til og det ser rimelig fornuftigt ud. Hvis jeg ud fra det skal finde Lagrangemultiplikatoren, skal jeg så bare indsætte x og y ind i U'(λ)= 2x-4y-1=0? Resultatet her er 1/6

Hvis du sætter x og y ind i den ligning skulle det meget gerne give 0, det er jo betingelsen (læg mærke til at jeg rettede min udregning til x=1/3 i #8), men altså hvis du vil finde λ kan du bare indsætte i en af de første ligninger, jeg får det til -1/3, jeg ved dog ikke hvad du vil bruge det til! :)

Aha okay. Det giver god mening!

Min næste opgave er, at finde et individs maksimale udnytte, når budgetbegrænsningen ændres til 2x+4y = 2. Kan forstille mig, at man skal bruge lagrangemultiplikatoren her, så man undgår at lave hele opgaven om igen. Har dog endnu ikke knækket koden der til endnu :)

Hmm, det vil jeg ikke udelukke at man kan, jeg kan dog ikke lige se hvordan. Du må gerne skrive det her hvis du finder en smart løsning :)

Jeg er nået frem til dette, som er vedhæftet :)

Under #1, skrev du, at du ikke kunne forstå hvorfor jeg trak leddet  λ fra. Når jeg kigger i min matematik bog, så bliver leddet altid trukket fra, hvad end det er for at maximere eller minimere. Det forvirrer lidt? Er der specielle regler for hvornår man bruger hvad? Jeg ved, at funktionen er et globalt maximum, måske det har noget at gøre med det?

Og tak fordi du tager dig tid til at hjælpe! :) 

Ja, jeg var måske lidt hurtig i #1, det er bare fordi at jeg altid gør det sådan. Det er egentlig ligegyldigt om man trækker det fra eller lægger det til, det giver samme resultat. Forskellen er dog imidlertid at man formentlig får en forskellgt fortegn på λ (men den er jo åbenbart smart :) ). Det var jeg ikke lige opmærksom på, nok fordi jeg aldrig rigtig har brugt den konstant til noget. Men når din bog trækker det fra er det nok bedst at gøre sådan, så er du også sikker på at du bruger resultaterne derfra rigtigt. Som sagt giver det ikke andre resultater ud over at du får λ til 1/3 i stedet for -1/3, og det passer nok bedre!

Undskyld hvis jeg bare har forvirret dig, men fremgangsmåden og reultaterne (op til fortegn på λ) er de samme, så det skulle ikke være ret svært at rette til. :)

Jeg skal måske også lige tjekke op på hvornår man trækker det fra eller lægger det til. Mange tak for din hjælp - det tog ingen tid at rette til, så det skal du ikke undskylde.  Fortsat god weekend til dig :)