luftmodstand og raketter (formel)

Til almen orientering:

Vergeltungswaffe 3

V-3 var, ligesom V-1 og V-2, et terrorvåben udviklet af tyskerne under anden verdenskrig. V-3 var et 130 meter lang kanonrør, hvor en 150 mm. granat blev sendt igennem. Granaten var udstyret med finner og mindede om en lille raket, dog uden motor. En række ekstra ladninger, langs siderne på kanonrøret, øgede mundingshastigheden til 1550 m/sek og derved rækkevidden til XXX km.  ( Bortcensureret )

Det var planen at 25 kanonrør fra en installation ved byen Mimoyecques ved Calais, skulle bombardere London med op til 300 granater i timen.

Tusindvis af slavearbejdere arbejdede i døgndrift med at udgrave og støbe bunkers til kanonrørene, men de allierede kendte til truslen og installationen blev massivt bombet. V-3 kanonen ved Mimoyecques kom aldrig i brug mod London, men to lidt mindre V-3 kanoner bombede byen Luxembourg fra december 1944 til februar 1945.
----------------------------------------------------

#0: Der mangler så oplysninger om granatens masse og luftmodstandskoefficient, førend en beregning kan foretages.

Grundet granatens hastighed, skal  F_luft = k * v²  givetvis benyttes. Flyvehøjden - og dermed lufttrykket - skal også tages i betragtning.

Der findes ikke en færdig formel, men resultatet ( det bortcensurerede ) kan findes ved en numerisk beregning.

##0,1: PS:

Du kan jo starte med at beregne skudvidden uden luftmodstand, og beregne skudvidden. Rækker den ikke fra Mimoyecques til London, rækker den heller ikke med luftmodstand.

#0 hesch tak for svar, jo altså jeg ved at den velde 140 kg. så det må jeg jo antage er granatens masse. og til udregningen af luftmodstandskoefficienten har jeg brugt en formfaktor på 0.37, da jeg har lavet et forsøg med en selv lavet raket, og læren har sagt at jeg "bare" skulle antage at V-3 granaten havde samme formfaktor, så derfor giver luftmodstandskoefficient :  k = 0.0003701721660.

og jeg har beregnet uden luftmodstand og der kan den sagtens ramme London.

Hvilken nummerisk løsning skulle jeg så lave?

Du skal bruge en metode til at løse differentialligningen m*v' = -mge_y - k*|v|*v

Den simpleste metode er Eulers metode, hvor man tilnærmer f'(x) med (f(x+h)-f(x))/h Her vælger man en skridtlængde h ogstarter man med en startværdi for f(x) Man bruger så tilnærmelsen til at finde f(x+h). Der findes mere raffinerede metoder en det. Man kan også bruge tilnærmelsen (f(x+h/2)-f(x-h/2) )/h. Så findes der Runge-Kutta metoder, hvor man først finder tilnærmede værdier for f(x) i intervallet mellem x og x+h

Jeg har for mange år siden set en bog, hvor en løsning til differentalligningen er fundet; men jeg kan ikke huske hvad den hed, så det hjælper dig ikke ret meget

#3:  Flyvetiden andrager vel omkring 3 minutter = 180 sek, ( bare et sjus ).

Du laver så en numerisk integration af flyveturen ( en simulering ), hvori tages hensyn til:

(x,y)-acceleration   ( F_luft = k * v², g = 9,82 m/s² )
(x,y)-hastighed      ( v(t) = v(t) + a(t)*dt )
(x,y)-position          ( Lufttryk er en funktion af y, og påvirker k-værdien )

Denne simulering gentages med systematisk variation af skudvinkelen, indtil maksimal skudvidde er fundet.

#3: Hvad me det varierende lufttryk?  Granaten fiser vel op i 15 km højde.

Ved simuleringen ville jeg vælge at anvende tidsstep ( dt ) = 0,01 s, hvorved flyveturen andrager 18000 tidsstep. Ved 100 simuleringer skal så gennemregnes 1.800.000 tidsstep, førend du har resultatet.

Jeg skriver dette for at anbefale dig ikke at anvende Excel:  Det bliver aldrig færdigt.  Brug i stedet et sprog som C.

De anvendte variable skal være i høj præcision ( long long  eller extended format ). Du kan udskrive mellemregninger for hver 200*dt ( 2 sek ), så du kan følge lidt med i flyveturen og nyde udsigten, inden det brager løs. Simuleringen bringes til ende, når y = 0. Turen er slut.

Venligst behold sikkerhedsbæltet fastspændt indtil "fasten seat belt" skiltet er slukket !

Jeg ved godt det er lidt omstændeligt, men det er sådan du finder en løsning.

God tur.
 

Ad #5:  Der skulle have stået:

#4: Hvad med det varierende lufttryk ?

#3:  Din k-værdi = 0,00037  kan ikke passe.  Det svarer til, at din granat kan opnå en fritfaldshastighed på
6940 km/t.  Den er godt nok tung og strømlinet, men det tror jeg ikke på.

En værdi på 0,0037 passer bedre. Så ligner granatens cw-tal sig cw-tallet for en Boing 747

Jeg har regnet lidt på turen til London, der har en længde på 152 km til Stadtmitte.

Hvis man nu ikke korrigerer lufttrykket for flyvehøjden, og anvender k = 0,0037, kommer granaten altså ikke til London. Den falder ned efter 64310m, efter en flyvetid på 221,7 s, og efter at have befundet sig i en højde på 22700 m.
Den optimale skudvinkel er her ca. 38.5º.

Så du bliver nok nødt til at fortynde luften lidt oppe i højderne, førend granaten klarer hele turen, ( om du ønsker det ).

#8:  Nå, det fik jeg skrevet forkert af, men du kan selv læse original udskriften vedhæftet.

#8:  Med korrektion for lufttryk(h), finder du vedhæftede.

Bemærk hvordan accelerationer ændrer sig drastisk ved omkring 30 km højde, og at vertikal hastighed ligefrem aftager under 5 km højde.

Skudvinkel, der uden luftmodstand er 45º, er øget til ca. 50º, fordi granaten hurtigst muligt skal op i tynd luft.

Det bortcensurerede i  #1 angiver en skudvidde på 165 km, men et optimeringsprogram er åbenbart bedre til at indstille skudvinkelen, eller også har tyskerne skudt i en modvind på omkring 7 m/s ( jævn vind, kaldes det vist ).

Jeg kunne ikke lade være, at få tingene til at passe, og det vedhæftede er en slags facitliste, som jeg ikke bør fremsende. Men der er jo ingen skade sket, hvis du ikke læser/åbner det vedhæftede.