Matematik

Bevis på vækstraten (r) - Eksponentiel funktioner

17. januar 2016 af TheNicken99 - Niveau: B-niveau

Hej SP, jeg har i øjeblikket om eksponetielfunktioner.
Jeg kender til funktionen: f(x) = b*a^x
Hvor b er startsværdi, a er grundtallet og x er observationen.

Jeg er bekendt med beviserne for henholdvis "a" og "b", samt hvordan man finder "x".

Mit problem / spørgsmål omhandler så vækstraten r, som jeg har fået forklaret er: r = a-1
Til dette vil jeg gerne vide hvordan man kommer frem til dette.

Min lære forklarede mig at det havde noget at gøre med formlen for rentersrente, altså Kn = K_o*(1+r)ⁿ

Igen er jeg bekendt med at "r" er den tilvæksten (fx procent i rente)

Jeg håber at dette er nok information til at I kan hjælpe mig med at forstå, hvordan r = a-1
Samt hvilken betydning det har i forhold til eksponentielle funktioner

Mange tak på forhånd :-)

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. januar 2016 af AskTheAfghan

"Eksponentiel funktion" og "Rentes rente" er i princippet ens.

f(x) = b a^x = b (1 + r)^x, hvor r er vækstraten.

Her er a = 1 + r (pr. definition), og dermed er r = a - 1.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. januar 2016 af Stats

K_n = K₀·aⁿ

K₀ = K₀·a⁰
K₁ = K₀·a¹

Forskellen i procent (decimaltal) betegnes med r

(K₁ - K₀)/K₀ = r ⇔ (K₀·a - K₀)/K₀ = r ⇔ K₀(a - 1)/K₀ = r ⇔ a - 1 = r ⇔ a = r + 1 = 1 + r

Dermed er a = 1 + r ⇔ r = a - 1

r er hvor mange procent y værdien stiger med, når x stiger med 1

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. januar 2016 af Stats

Hvis r > 0, da vil funktionen vokse progressivt.

Hvis r < 0, da vil funktionen vokse degressivt.

Hvis r = 0, da vil der være tale om en konstant funktion, y = k

(Jeg nåede ikke at indsætte i forrige kommentar.. Jeg fik først læst "Samt hvilken betydning det har i forhold til eksponentielle funktioner" efter et stykke tid.)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. januar 2016 af mathon

En størrelse x fremskrives med procentsatsen p.

størrelsen                     x
fremskrivningsstørrelse        x·^p/₁₀₀
størrelse efter én fremskrivning:   x + x·^p/₁₀₀ = (1 + ^p/₁₀₀)·x = (1+r)·x hvor r er ^p/₁₀₀ som decimaltal.
størrelse efter n fremskrivninger: (1+r)ⁿ·x = x·(1+r)ⁿ

          Som er grundviden fra folkeskolen.

Det eksponentielle udtryk
er derfor
$f(x)=b\cdot (1+r)^x=b\cdot a^x$ _{( b = x )}

$1+r=a\Leftrightarrow r=a-1$

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. januar 2016 af mathon

Anvendt matematik:
Når vækstraten er $p\%$ er fremskrivningsfaktoren $\left ( 1+p\cdot 10^{-2} \right )$

er f.eks.vækstraten er $2{,}53\%$
er fremskrivningsfaktoren $\left ( 1+2{,}53\cdot 10^{-2} \right )=\left ( 1+0{,}0253 \right )=1{,}0253$

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. januar 2016 af mathon

er f.eks.vækstraten $2{,}53\%$ er…

Skriv et svar til: Bevis på vækstraten (r) - Eksponentiel funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.